- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
Глава 8
Введение в математическую статистику
8.1Предмет математической статистики
Раздел «Математическая статистика» общего курса математики обычно изучается последним, так как основывается на теории вероятностей и всех других ранее изученных математических разделах. Сами статистические данные и выводы, полученные на их основе, используются в естественных и гуманитарных науках, в инженерной практике, экономике. Особенно велика роль статистики в задачах управления производством, социальными группами людей, ибо без знания состояния управляемого объекта разумное управление этим объектом невозможно. Эти знания об объекте несут обработанные и осмысленные статистические данные.
Слово «статистика» происходит от слова «status» - состояние, государство. Статистика - одна из древнейших наук. Еще в глубокой древности люди накапливали и анализировали сведения о природных и общественных явлениях с целью их познания и прогноза. Существуют производственная, экономическая, социальная, медицинская, демографическая и другие отраслевые статистики. Математическая статистика изучает математическую сторону работы с числовыми данными независимо от конкретной отраслевой специфики.
Определение. Математической статистикой называется наука, разрабатывающая методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью получения вероятностно-статистических моделей случайных явлений.
Математическая статистика - абстрактная наука. Ее методы применимы для обработки данных наблюдений и экспериментов любой природы, поэтому используются во всех конкретных естественных и гуманитарных науках, экономике, технике и т.д., т.е. во всех отраслевых статистиках.
Основными задачами математической статистики являются следующие:
•Приближенное определение вероятности события по относительной частоте.
•Нахождение приближенного закона распределения случайной величины по данным экспериментов.
•Оценивание числовых характеристик или параметров распределения случайной величины по данным экспериментов.
•Проверка статистических гипотез о свойствах изучаемого случайного явления.
59
•Определение эмпирической (регрессионной) зависимости между переменными, описывающими случайное явление, на основе эмпирических данных.
Рассмотрим типичную схему исследований при решении указанных задач. Эти исследования естественно делятся на две части.
Сначала путем наблюдений и экспериментов собираются, регистрируются статистические данные, составляющие выборку, - это числа, называемые также выборочными элементами. Затем они упорядочиваются, представляются в компактной, наглядной и функциональной форме. Вычисляются различного рода средние величины, характеризующие выборку. Часть математической статистики, обеспечивающая эту работу, называется
описательной статистикой.
Вторая часть работы исследователя состоит в получении на основе найденных сведений о выборке достаточно обоснованных выводов о свойствах исследуемого случайного явления. Эта часть работы обеспечивается методами, составляющими статистику выводов.
60