4.3.2 Независимость n событий

Понятие независимости n событий опирается на понятие независимости двух событий.

Определение. События A1, A2, . . . , An называются взаимно независимыми (иначе -

независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности.

В этом случае все условные вероятности равны безусловным, и формула упрощается:

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2) . . . P (An).

Формула выражает правило умножения вероятностей для n взаимно независимых событий. Формула вероятности произведения двух независимых событий является ее частным случаем.

4.4Правила сложения вероятностей

Аксиома сложения вероятностей

XX

выражает правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий.

Если же слагаемые события совместны, то формула суммы усложняется. Для двух любых событий она имеет вид:

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).

Пример. Два орудия стреляют в цель независимо. Вероятность попадания каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одного из орудий.

Пусть A и B - события, означающие попадание в цель первого и второго орудий соответственно. Тогда

P (A + B) = 0, 6 + 0, 6 − 0, 62 = 1, 2 − 0, 36 = 0, 84.

Для трех событий формула сложения вероятностей имеет вид:

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC).

Теорема (сложения вероятностей для n взаимно независимых событий).

nn

XY

4.5Формулы полной вероятности и Байеса

4.5.1 Формула полной вероятности

Пусть событие A может наступить только с одним из n попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, составляющих полную группу:

HiHk = (i 6= k); H1 + . . . + Hn = I.

22

Эти события называются гипотезами. Тогда

P (A) = P (H1)P (A|H1) + . . . + P (Hn)P (A|Hn).

Так как сумма вероятностей гипотез равна 1:

P (H1) + . . . + P (Hn) = 1,

то формула полной вероятности может рассматриваться как усредняющая условные вероятности по вероятностям гипотез.

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Пример. Партия продукции поставлена двумя заводами. 1-й завод поставил 40% продукции, 2-й - 60%. Вероятность брака на 1-м заводе равна 0,008, а на 2-м - 0,004. Найти вероятность брака всей партии.

Применяем формулу полной вероятности, усредняя все условные вероятности брака. Введем события. Пусть A - событие, означающее, что взятое для контроля изделие - бракованное. H1, H2 - гипотезы, означающие, что изделие изготовлено 1-м и 2-м заводами. Тогда по условию задачи

P (H1) = 0, 4; P (H2) = 0, 6; P (A|H1) = 0, 008; P (A|H2) = 0, 004.

P (A) = P (H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2) = 0, 4·0, 008+0, 6·0, 004 = 0, 0032+0, 0024 = 0, 0056.

4.5.2 Формула Байеса

При выводе формулы Байеса сохраняются предположения, принятые при выводе формулы полной вероятности, и ставится дополнительное условие: при проведении опыта событие A произошло. Эта новая информация позволяет переоценить первоначальные вероятности гипотез.

По формуле условной вероятности находим P (Hi|A) = P (HiA)/P (A). Числитель представим по формуле вероятности произведения событий, а знаменатель - по формуле полной вероятности. Тогда получаем

Эта формула называется формулой Байеса, иначе формулой гипотез. Исходные вероятности гипотез P (H1), . . . , P (Hn) называются априорными, т.е. доопытными, а вероятности, найденные по формуле Байеса - апостериорными, т.е. послеопытными.

Пример. При постановке диагноза высказано предположение о наличии у больного болезни A (событие A) одной из двух разновидностей H1 или H2 (гипотезы H1 и H2). Экспертно оценены вероятности этих гипотез: P (H1) = 0, 4; P (H2) = 0, 6. Применяемый анализ обнаруживает болезнь A в 80% случаев при разновидности H1 и в 60% случаев при разновидности H2. Проведенный тест подтвердил предположение о болезни. Какая разновидность болезни вероятнее после проведения теста?

По формуле полной вероятности находим вероятность наличия болезни у пациента:

P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) = 0, 4 · 0, 8 + 0, 6 · 0, 6 = 0, 68.

23