но нормально N(0, 1). Пусть Φ(x) - функция Лапласа. Тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
P |
x¯ − |
·√n |
< m < x¯ + |
σB |
· |
√n |
|
|
= γ. |
|
|
|
σB |
u(1+γ)/2 |
|
|
u(1+γ)/2 |
|
|
||
Здесь x¯ - выборочное среднее, σB - |
выборочное |
среднее |
квадратическое отклонение, |
|||||||
- квантиль нормального распределения N(0, 1) порядка (1 + γ)/2, т.е. решение уравнения
u(1+γ)/2 = Φ−1((1 + γ)/2).
Пример. По выборке объемом n = 100 вычислены выборочные характеристики x¯ = 0, 13, s = 1, 05. Требуется построить доверительный интервал для m с надежностью γ = 0, 95.
По таблице распределения Лапласа определяем квантиль u(1+γ)/2 = u0,975 = 1, 96. По формуле для доверительного интервала имеем
0, 13 |
− |
1, 05 · 1, 96 |
< m < 0, 13 + |
1, 05 · 1, 96 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
√100 |
√100 |
|||||||
−0, 07 < m < 0, 33.
11.4Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
1 |
n |
n |
||
|
|
Xi |
||
Выборочная дисперсия DB = |
n |
(xi −x¯)2 является суммой большого числа практически |
||
|
|
=1 |
Xi |
|
независимых одинаково распределенных слагаемых (имеется одна связь |
||||
(xi − x¯) = |
||||
|
|
|
=1 |
|
p
0). В силу центральной предельной теоремы случайная величина (DB − MDB)/ D(DB) распределена приблизительно нормально N(0, 1).
Пусть Φ(x) - функция Лапласа. Тогда при больших n получаем формулу для доверительного интервала:
P σB |
|
1 − 2√nu(1+γ)/2q |
Eˆ |
+ 2 |
< σ < σB |
|
1 + 2√nu(1+γ)/2q |
Eˆ |
+ 2 |
= γ. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь σB - выборочное среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки, u(1+γ)/2 -
квантиль нормального распределения N(0, 1) порядка (1 + γ)/2, |
ˆ |
|
||
E - выборочный эксцесс |
||||
распределения: |
m4 |
|
|
|
ˆ |
|
|
||
E = |
σB4 |
− 3, |
|
|
|
|
|
n |
ˆ |
m4 - выборочный центральный момент четвертого порядка, m4 = |
Xi |
|||
=1 |
(xi − x¯)4. |
|||
|
|
|
|
|
Пример. По выборке с объемом n = 100 вычислены σB = 1, 05, m4 = 2, 86, E = −0, 62. Требуется построить доверительный интервал для σ с надежностью γ = 0, 95.
79
По таблице распределения Лапласа находим квантиль u(1+γ)/2 = u0,975 = 1, 96 нормального распределения N(0, 1) порядка 0,975. Применяем формулу для доверительного
интервала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
1, 05 1 − |
20 |
1, 96 2 |
− 0, 62 |
< σ < 1, 05 1 + |
20 |
1, 96 2 |
− 0, 62 ; |
||||||
|
|
|
p |
0, 93 |
< σ < 1, 21. |
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
80