откуда заключаем, что m1, m2 - математические ожидания компонент X, Y двумерной нормальной случайной величины (X, Y ), σ1, σ2 - средние квадратические отклонения их компонент.

Графиком двумерной нормальной плотности в пространстве является холмообразная поверхность, располагающаяся над всей плоскостью xOy, асимптотически приближающаяся к ней при удалении на бесконечность, симметричная относительно вертикальной оси, проходящей через центр (m1, m2), и с вершиной в этой точке. Любое сечение поверхностиграфика нормальной плотности плоскостью, перпендикулярной xOy, является кривой Гаусса.

6.5Зависимость и независимость двух случайных величин

Определение. Случайные величины X, Y называются независимыми, если независимыми являются события X < x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y ) называются зависимыми.

Теорема. Общее необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин:

FXY (x, y) = FX (x) · FY (y)

для любых вещественных x и y.

Это условие есть иначе записанное необходимое и достаточное условие независимости двух событий: P (AB) = P (A)P (B) для случая событий A = (X < x), B = (Y < y).

Теорема. Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных случайных величин:

fXY (x, y) = fX (x) · fY (y), x, y.

Теорема. Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин:

pik = pi• · p•k

для любых i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n.

Замечание. Равенство нулю коэффициента корреляции ρ является необходимым и достаточным условием независимости компонент X, Y двумерной нормальной случайной величины (X, Y ).

6.6Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами

6.6.1Условные законы распределения

Определение. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X, Y ) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

50

В случае дискретных случайных величин формулы для нахождения условных вероятностей имеют вид:

В случае непрерывных случайных величин эти формулы примут вид

т.е. условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности ее другой составляющей.

Данные соотношения, записанные в виде

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

называются теоремой (правило) умножения плотностей распределений.

Используя формулы для получения одномерных составляющих непрерывной случайной величины запишем формулы для условных составляющих:

6.6.2Числовые характеристики

Рассмотрим случайную величину ϕ(X, Y ), являющуюся функцией компонент X, Y двумерной случайной величины (X, Y ). Справедливы общие формулы:

−∞ −∞

для непрерывного случая и

для дискретного случая.

Здесь fXY (x, y) - плотность вероятности случайной величины (X, Y ), а pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n) - закон распределения дискретной двумерной случайной вели-

чины.

С помощью этих формул можно записать формулы для математического ожидания и дисперсии одномерных компонент дискретной случайной величины.

Формулы для нахождения математического ожидания имеют вид:

+∞ +∞

51

+∞ +∞

Z Z

M(Y ) = yfXY (x, y)dxdy

−∞ −∞

для непрерывных случайных величин;

mn

XX

M(X) = xipik;

i=1 k=1

m n

XX

M(Y ) = ykpik

i=1 k=1

для дискретного случая.

Формулы для вычисления дисперсии одномерных компонент двумерной случайной величины имеют вид:

−∞

в случае непрерывной двумерной случайной величины и

XX

D(Y ) = M[(Y − M(Y ))2] = (yk − M(Y ))pik

i=1 k=1

для дискретного случая.

6.6.3Корреляционные момент и коэффициент корреляции

Выше были сформулированы функциональные характеристики зависимости двух случайных величин. Рассмотрим теперь числовые характеристики связи между случайными величинами.

Определение. Корреляционным моментом KXY , иначе - ковариацией, двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Очевидно, что KXY = KY X .

Формулы для вычисления KXY имеют вид:

+∞ +∞

52

для непрерывных случайных величин;

mn

для дискретных случайных величин.

Определение. Коэффициентом корреляции ρXY двух случайных величин X, Y называется отношение их корреляционного момента к произведению их средних квадратических отклонений:

ρXY = KXY .

σX σY

Очевидно, что ρXY = ρY X .

Корреляционный момент и коэффициент корреляции - это числовые характеристики двумерной случайной величины, причем ρXY - безразмерная характеристика. Из их свойств следует, что они характеризуют связь между случайными величинами.

Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции. Свойство 1.

KXY = M[XY ] − mX mY .

Эту формулу удобно применять для вычисления ковариации.

Свойство 2.

−1 ≤ ρ ≤ 1.

Это свойство означает, что коэффициент корреляции - нормированная характеристика. Свойство 3. Для независимых случайных величин X, Y их корреляционный момент,

а следовательно, и коэффициент корреляции, равны нулю.

Замечание. Обратное предложение в общем случае неверно, т.е. существуют независимые случайные величины (X, Y ), для которых KXY = 0.

Определение. Две случайные величины X, Y называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если KXY 6= 0, то говорят, что X, Y коррелируют между собой.

Замечание. Если KXY 6= 0, то случайные величины X, Y зависимы.

Свойство 4. Для случайных величин X, Y = aX + b, связанных линейной зависимостью, коэффициент корреляции равен 1, если a > 0, и −1, если a < 0.

Свойство 5. Если |ρXY | = 1, то случайные величины X, Y связаны линейной зависимостью с вероятностью единица.

Замечание. Величина M[XY ] = α1,1 называется вторым смешанным начальным моментом двумерной случайной величины (X, Y ), а ее корреляционный момент KXY -

вторым смешанным центральным моментом.

53