Глава 12

Проверка статистических гипотез

При проведении статистических исследований возникают различные вопросы о свойствах генерального распределения и выборки. Для ответов на эти вопросы выдвигаются гипотезы, требующие статистической проверки на основе полученной выборки.

Эти гипотезы могут быть выдвинуты непосредственно практикой, а могут возникнуть как дальнейший этап статистических исследований после разведочного анализа, обеспеченного описательной статистикой.

12.1 Виды статистических гипотез

Приведем примеры наиболее важных в практическом отношении гипотез.

1. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей. Она возникает, когда нужно проверить, одинаковы ли средние значения основных

параметров изделий, производимых двумя станками, участками, цехами.

2. Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей. Например, следует сравнить точность двух измерительных приборов, разброс значений

контролируемого параметра при массовом производстве продукции на двух участках. 3. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности.

Эта гипотеза может возникнуть на основе теоретических соображений, имеющегося опыта исследований, на основе изучения гистограммы выборки.

4. Гипотеза об однородности выборки, об отсутствии в ней выбросов.

Определение. Статистической гипотезой называется предположение о виде или свойствах генерального или выборочного распределений, которое можно проверить статистическими методами на основе имеющейся выборки.

Определение. Статистическая гипотеза о генеральном распределении называется простой, если она его полностью определяет. В противном случае гипотеза называется сложной.

Как правило, гипотезы о генеральном распределении - сложные.

81

12.2Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез

Для проверки любой статистической гипотезы выбирается какой-либо критерий, называемый критерием значимости.

Определение. Критерием значимости называется правило проверки статистической гипотезы.

Выдвинутую гипотезу проверяют на основе имеющейся выборки. Для этого конструируется функция выборочных элементов, называемая статистикой, по величине которой судят о справедливости гипотезы.

Определение. Статистикой критерия значимости называется статистика, по значениям которой судят о справедливости статистической гипотезы.

Часто ее для простоты тоже называют критерием.

Например, для проверки гипотезы о том, что вероятность интересующего нас события A равна p, можно взять статистику

Z = µn − p,

являющуюся отклонением относительной частоты µ/n от вероятности события A.

Если гипотеза верна, то при увеличении n относительная частота будет приближаться к p по вероятности, а следовательно, Z будет сильно отличаться от нуля. В этом примере и в общем случае следует знать закон распределения статистики критерия, чтобы судить, какие ее значения маловероятны, а какие - нет.

В основе большинства критериев значимости лежит следующий простой принцип: если выдвинута гипотеза о том, что событие имеет очень малую вероятность, но в результате одного лишь испытания это событие произошло, то следует подвергнуть сомнению справедливость выдвинутой гипотезы.

События с малой вероятностью α, которой в данной ситуации можно пренебречь, будем называть практически невозможными, а с вероятностью 1 − α, близкой к единице, -

практически достоверными.

Вероятности α и 1 − α абстрактно выбрать нельзя. Их значения диктуются реальной ситуацией. Например, если α - вероятность нераскрытия парашюта или разрушения дорогостоящей плотины паводком, то α должно быть десятичной дробью с большим числом нулей после запятой. Это число обычно стандартизируется мировой практикой.

Определение. Уровнем значимости α называется столь малая вероятность, что событие с такой вероятностью является практически невозможным.

Обычно проверяемая гипотеза обозначается H0, а ей альтернативная - H1 или Ha. Например, если вероятность брака (событие A) равна p, а после усовершенствования технологического процесса ожидается, что она будет меньше, то в качестве H0 можно взять гипотезу: P (A) = p, а в качестве Ha : P (A) < p.

Если сформулированы гипотезы H0 и Ha и выбрана статистика критерия Z, то следует указать еще область Vk маловероятных значений Z, попадание в которую статистики Z заставляют нас отвергнуть H0 и принять Ha.

Определение. Критической областью критерия значимости называется область Vk области V значений статистики Z, вероятность попадания в которую для этой статистики при условии истинности проверяемой гипотезы H0 равна уровню значимости α:

P (Z Vk/H0) = α.

82