Рис. 5.3: Иллюстрация моды дискретного распределения
5.3.5Начальные и центральные моменты
Начальным моментом порядка k называется M(Xk) = αk. Центральным моментом порядка k называется M[(X − mX )k] = µk. Математическое ожидание - это центральный момент 1-го порядка. Дисперсия - центральный момент 2-го порядка. Центральные моменты могут быть выражены через начальные.
µ2 = DX = M(X2) − m2X = α2 − α12.
Начальные и центральные моменты - это тоже числовые характеристики случайной величины.
5.4Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
5.4.1 Биномиальное распределение
Биномиальный закон распределения определяется формулой
P (X = k) = Pn,k = Cnkpkqn−k (k = 0, 1, . . . , n),
0 < p < 1; q = 1 − p; Cnk = |
n! |
|
. |
|
|
|
|
||
k!(n |
− |
k)! |
||
|
|
|
|
|
Случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, является числом появления события A (успехов) с вероятностью p в схеме Бернулли проведения n независимых испытаний.
Для биномиального распределения числовые характеристики определяются формула-
ми:
MX = np, DX = npq.
34
5.4.2 Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, . . . , m, . . . (бесконечное, но счетное множество
значений) с вероятностями
P (X = m) = λme−λ . m!
Можно показать, что СВ, распределенная по закону Пуассона, обладает свойством
∞
P
pi = 1.
i=1
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.
M(X) = λ,
D(X) = λ.
Случайные величины, распределенные по закону Пуассона, являются предельным случаем биномиального распределения, кроме того, простейший поток событий, попадающих на произвольный отрезок времени, является случайной величиной, имеющей пуассоновское распределение.
5.4.3 Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p, если она принимает значения 1, 2, . . . , m, . . . (бесконечное, но счетное множество значе-
ний) с вероятностями
P (X = m) = pqm−1,
где 0 < p < 1, q = 1 − p.
Вероятности возможных значений случайной величины образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q.
Такая случайная величина представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром p определяется формулой
M(X) = p1,
а ее дисперсия
q
D(X) = p2 ,
где q = 1 − p.
35