Пример. Проверяется гипотеза H0 о том, что вероятность события P (A) = p. Для статистики критерия Z = µn −p целесообразен двусторонний критерий, так как большие по

модулю отклонения относительной частоты µ/n от вероятности p заставляют отвергнуть гипотезу H0.

12.4Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей

Эта гипотеза возникает при сравнении точности двух одинаковых измерительных приборов, при сравнении разброса значений параметров продуктов массового производства двух станков, цехов, заводов.

Математическая постановка задачи. Изучаются две генеральные совокупности, распределенные нормально. Пусть (x1, . . . , xm) - выборка объема m из первой, а (y1, . . . , yn) - выборка объема n из второй генеральной совокупности, полученной независимо от первой. Генеральные математические ожидания неизвестны.

Проверяется гипотеза H0 о равенстве дисперсий: σX2 = σY2 против гипотезы σX2 6= σY2 . Критерий проверки следующий.

1. Вычисляются несмещенные оценки дисперсий

s2 F = X .

s2Y

В предположении справедливости гипотезы H0 это отношение распределено по закону Фишера (F - распределение) с числами степеней свободы k1 = m − 1 и k2 = n − 1. Закон обозначается символом F (k1, k2).

Плотность вероятности распределения Фишера имеет вид

k1, k2 - натуральные числа.

При отношении дисперсий σX2 /σY2 = 1 отношение оценок выборочных дисперсий должно быть близким к 1, поэтому гипотеза H0 должна отвергаться при слишком малых или слишком больших значениях F . Если же условиться помещать в числитель F -отношения большую дисперсию из двух s2X и s2Y , то неприемлемым для справедливости гипотезы H0 будут слишком большие значения F . Таким образом, применяемый критерий будет правосторонним.

3.Выбираем уровень значимости α.

4.По таблице находим квантиль F1−α(k1, k2) распределения Фишера.

5.Вычисляем выборочное значение FB статистики критерия.

85

Рис. 12.2: График плотности вероятности F - распределения. Критическая область (F1−α(k1, k2), +∞) критерия

6. Сравниваем FB и F1−α(k1, k2). Если FB < F1−α(k1, k2), то гипотеза H0 на выбранном уровне значимости α принимается. В противном случае - отвергается. На рисунке показана критическая область (F1−α(k1, k2), +∞).

Пример. m = 16, n = 20, s2X = 1, 23, s2Y = 0, 97. Требуется проверить гипотезу σX2 = σY2 при уровне значимости α = 0, 05.

Находим числа степеней свободы k1 = m − 1 = 15; k2 = n − 1 = 19 и вычисляем FB = 1, 23/0, 97 = 1, 27. По таблице квантилей распределения Фишера находим квантиль F1−α(k1, k2) = F0,95(15, 19) = 2, 23. Видим, что FB < 2, 23. Гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

12.5Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей

Эта гипотеза возникает на производстве при сравнении средних значений контролируемого параметра продукта, выпускаемого двумя станками, цехами, заводами. В экономике сравнивают средний уровень зарплаты, средний объем выпускаемой продукции в двух регионах, отраслях хозяйства. Эта задача может возникнуть в социальной сфере при сравнении социальных факторов, таких, как средний возраст, средний уровень обеспеченности жильем.

Имеются две независимые выборки (x1, . . . , xm) и (y1, . . . , yn) из двух генеральных совокупностей. По этим выборкам найдены выборочные средние

Случай нормальных генеральных совокупностей

86

Предположим, что предварительно была проверена гипотеза о равенстве дисперсий σX2 и σY2 генеральных совокупностей, из которых были извлечены выборки, и можно утверждать, что

σX2 = σY2 = σ2.

Проверяется гипотеза H0 о равенстве математических ожиданий mX = mY генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки. Альтернативной гипотезой Ha является гипотеза mX 6= mY .

Критерий проверки

1. Применяем статистику критерия

Доказано, что статистика T распределена по закону Стьюдента с k = m + n −2 степенями свободы. Закон Стьюдента обозначается T (k).

Если mX = mY , то x¯ и y¯ должны быть близкими, а следовательно, T - малым. Если же |x¯ − y¯| является большим числом, то это свидетельствует о неверности гипотезы H0. Отсюда следует, что критерий значимости должен быть двусторонним. Критическая область выбирается так, чтобы вероятность попадания в ее левую и правую части были равны α/2, где α - уровень значимости.

2.Назначаем уровень значимости.

3.По таблице находим квантиль t1−α/2(m + n − 2) = t1−α/2 порядка 1 − α/2 для распределения Стьюдента с m + n − 2 степенями свободы.

4.Вычисляем выборочное значение TB статистики T по формуле.

5.Сравниваем |TB| и t1−α/2. Если выполняется неравенство |TB| < t1−α/2, то гипотеза H0 принимается, так как TB попадает в область допустимых значений (−t1−α/2, t1−α2 ). Если же |TB| ≥ t1−α/2, то гипотеза H0 отвергается, так как TB попадает в критическую

область |x| > t1−α/2.

Пример. Сравнить процентное содержание контролируемой примеси в выпускаемом продукте на основе выборок из двух партий (для удобства все числа умножены на 100):

x : (11, 14, 11, 11, 13, 16, 14, 19, 14, 18, 19, 19, 23, 22, 18);

y : (19, 17, 18, 19, 17, 25, 19, 22, 13, 18, 21, 30, 21, 13, 10).

Сравнение произвести по их выборочным средним x¯, y¯ и выборочным дисперсиям σX2 , σY2 на уровне значимости α = 0, 05.

Здесь объем выборок одинаков m = n = 15. Путем непосредственных вычислений получаем

x¯ = 242/15 = 16, 13; y¯ = 282/15 = 18, 80; σX2 = 14, 4; σY2 = 22, 4.

Сравним сначала выборочные дисперсии σX2 и σY2 по критерию Фишера. FB = s2Y /s2X = 22, 4/14, 4 = 1, 56. По таблице находим квантиль распределения Фишера F0,95(14, 14) = 2, 40. Сравниваем FB и F0,95(14, 14): FB < 2, 40. Согласно критерию равенства генеральных дисперсий можно считать, что обе выборки принадлежат генеральным совокупностям с

87