Глава 2

Алгебра событий

2.1 Предмет теории вероятностей

Задача науки - выявление закономерностей, описывающих явления природы и общества. Эти закономерности могут быть выражены с помощью моделей в виде описаний, классификаций, алгоритмов, уравнений, функций детерминистским или вероятностным способом.

Детерминистская математическая модель, применяемая для выражения закономерностей, дает однозначный вывод при задании всех переменных, входящих в модель. Таков, например, закон Ома для участка цепи i = u/R, связывающий ток i, напряжение u и сопротивление R.

Вероятностная, иначе - стохастическая модель - это модель, которая не дает достоверного прогноза о развитии изучаемого явления. Её выводы носят лишь оценочный, вероятностный характер. Например, невозможно точно указать, сколько будет наводнений в Санкт-Петербурге в текущем году. Однако с помощью теории вероятностей, на основе имеющихся статистических данных можно сделать предсказание о количестве и величине наводнений с определенной вероятностью.

Определение. Теорией вероятностей называется наука, изучающая математические модели случайных явлений.

Создание теории вероятностей относится к началу XVIIв., когда стали возникать задачи, требующие статистических исследований в области страхового дела, демографии, производства. Большое влияние на теорию вероятностей оказали азартные игры, которые дают наиболее простые модели случайных явлений. Поэтому и в настоящем курсе иногда приводятся примеры из азартных игр.

2.2 Классификация событий

Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события.

Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение). Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F . Сам эксперимент обозначают буквой E. Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.

9

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт в результате проведения эксперимента E. Его будем обозначать буквой I (или Ω).

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента E. Оно обозначается символом пустого множества .

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента E. Случайные события обозначаются первыми большими буквами латинского алфавита: A, B, C, ... .

Дополнительным, иначе - противоположным событию A называется событие, обо-

значаемое ¯, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

A A

Пример. - выстрел из орудия. Событие - попадание в цель. Тогда ¯ - промах.

E A A

Элементарным событием ω называется непосредственный исход эксперимента E. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных

событий и обозначается Ω.

Пример. E - бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий ω1, . . . , ω6. Событие ωk означает, что в результате бросания выпало k очков, k = 1, . . . , 6. Ω = {ω1, . . . , ω6}.

События можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна (aнrл., 18321923). Достоверное событие изображается прямоугольником; случайное событие A - обла-

стью внутри прямоугольника; дополнительное событие ¯ - областью внутри прямоуголь-

A

ника вне области, изображающей событие A (рис.2.1).

Рис. 2.1: Диаграммы Венна

2.3Действия над событиями

Над событиями можно производить действия, подобные алгебраическим - складывать и перемножать.

Определение. Суммой (или объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий.

Пример. E - бросание игральной кости. Событие A означает выпадение 1 или 2, а событие B - выпадение 2 или 3. Тогда событие A + B означает выпадение 1 или 2 или 3.

На диаграмме Венна сумма событий A + B изображается областью, которая накрывается областями, изображающими события A и B (рис. 2.2).

10

Рис. 2.2: Изображение суммы событий A + B

Определение. Произведением (или совмещением, пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно).

Произведение событий также обозначается несколькими способами.

На диаграмме Венна произведение событий изображается общей частью областей, изображающих события A и B (рис. 2.3).

Свойства операций сложения, умножения, дополнения событий выражают правила действий над событиями. Приведем их.

A + A = A; A + I = I; A + = A; AA = A; AI = A; A = ;

A + B = B + A - переместительный закон;

(A + B) + C = A + (B + C) - сочетательный закон; AB = BA - переместительный закон;

(AB)C = A(BC) - сочетательный закон;

(A + B)C = AC + BC - распределительный закон.

Эти правила во многом похожи на правила действий с числами. Роль достоверного события I во многом похожа на роль единицы, а роль невозможного события - на роль нуля.

Приведенные правила и другие, более сложные, составляют алгебру событий. Продолжим классификацию событий на основе понятий суммы и произведения. Определение. События называются несовместными, если их произведение есть невоз-

можное событие:

A1A2 . . . An = .

11

Рис. 2.3: Изображение произведения событий AB

На диаграмме Венна два несовместных события изображаются непересекающимися множествами.

Заметим, что если события попарно несовместны, то они несовместны и в совокупности. Обратное неверно.

Пример. Пусть E - бросание игральной кости. Рассмотрим события: A - выпадение 1 или 2, B - выпадение 2 или 3, C - выпадение 3 или 1.

Очевидно, что ABC = , т.е. все три события несовместны в совокупности, но попарно совместны.

Определение. Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие.

A1 + A2 + . . . + An = I.

Примерами полной группы событий являются все элементарные события ω пространства Ω. В силу этого обстоятельства часто достоверное событие обозначается символом Ω, тем же, что и пространство элементарных событий. На диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат.

События и ¯ также образуют полную группу. Таким образом,

A A

¯

A + A = I.

Определение. Событие B называется частным случаем события A, если с появлением события B появляется и событие A. Говорят также, что событие B влечет событие A, что записывается в виде B A.

На диаграмме Венна событие , влекущее событие , изображается подобластью области, изображающей (рис. ??).

12

Рис. 2.4: B A

Заметим, что элементарное событие ω эксперимента E обладает характеристическим свойством, которое может служить определением элементарного события: каким бы ни

было событие , порожденное экспериментом , всегда либо , либо ¯.

A E ω A ω A

Определение. События A и B называются эквивалентными, если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента E.

Запись эквивалентных событий: A = B. Очевидно, что A = B, если A B и B A.

13