4.8 Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

4.8.1Локальная формула Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn,m того, что событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

f(x)

Pn,m ≈ √npq ,

где

f(x) = √1 e−x22 2π

- функция Гаусса и

m − np x = √npq .

Данная формула тем точнее, чем больше n. Она называется локальной формулой Муавра-Лапласа. На практике приближенные значения, полученные по локальной формуле, используются как точные при npq порядка двух и более десятков, т.е. npq ≥ 20.

Поскольку локальная формула в теории вероятностей и математической статистике используется достаточно часто, ее значения сведены в таблицу. Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(x).

1.Функция f(x) является четной, т.е. f(−x) = f(x).

2.Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при x → ∞ f(x) → 0. (Практически при x > 4)

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна p = 80/100 = 0, 8. Так как n = 100 достаточно велико (npq = 100 · 0, 8 · (1 − 0, 8) = 64 ≥ 20), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Здесь значение f(−2, 50) = f(2, 50) = 0, 0175 найдено по таблице.

Пусть теперь в условиях этого же примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность такого события

P400(300 ≤ m ≤ 360) = P400,300 + P400,301 + . . . + P400,360.

Технически возможно вычислить каждое слагаемое по локальной формуле МуавраЛапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким.

25

4.8.2Интегральная формула Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступлений события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом n приближенно равна

Pn(a ≤ m ≤ b) ≈ Φ(x2) − Φ(x1),

где

функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

Эта формула называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула, так же, как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Значения функции Φ(x) сведены в таблицу. Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Φ(x).

1.Функция Φ(x) нечетная, т.е. Φ(x) = −Φ(x).

2.Функция Φ(x) монотонно возрастающая, при x → −∞ Φ(x) → −0, 5, x → +∞ Φ(x) → 0, 5, причем при x > 4 можно считать, что Φ(x) ≈ 0, 5.

Пример. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники, при условии, что среднестатистическая семья имеет холодильник с вероятностью 0,8.

Применяем интегральную теорему Муавра - Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим

По интегральной формуле Муавра-Лапласа, учитывая свойства функции Φ(x), получа-

ем

P400(300 ≤ m ≤ 360) ≈ Φ(5, 0) − Φ(−2, 50) = Φ(5, 0) + Φ(2, 50) ≈ 0, 5 + 0, 4398 = 0, 9398.

Следствие. Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события A отличается от произведения np не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине), т.е.

ε

Pn(|m − np| ≤ ε) ≈ Φ(√npq );

26

б) частость mn события A заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.

в) частость mn события A отличается от его вероятности p не более, чем на величину

> 0 (по абсолютной величине), т.е.

27