Глава 4

Алгебра вероятностей

4.1Условная вероятность

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть A и B - два события, порожденные опытом E, причем P (B) 6= 0. Число P (AB)/P (B) называется вероятностью события A при условии, что наступило событие B, или просто условной вероятностью события A и обозначается символом

P (A|B) или PB(A).

Таким образом, по определению

P (A|B) = P (AB).

P (B)

Пример. Какова вероятность, что взятая наугад кость домино будет дублем, если известно, что сумма очков на этой кости - четное число?

Пусть событие A - взятая кость является дублем, а событие B - сумма очков четна.

Имеем

P (A|B) = P (AB) = 7/28 = 7 . P (B) 16/28 16

При решении учтено, что из 28 костей домино 16 имеют четную сумму, 7 костей - дубли, и все дубли имеют четную сумму очков.

Отметим, что безусловная вероятность события A равна P (A) = 7/28.

4.2 Правило умножения вероятностей

Из формулы условной вероятности вытекает равенство P (AB) = P (B)P (A|B). Аналогично можно получить и равенство P (AB) = P (BA) = P (A)P (B|A). Обе формулы объединяются в одну и составляют правило (иначе - теорему) умножения вероятностей двух любых событий:

P (AB) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A),

которое формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло.

20

Формула произведения вероятностей обобщается на случай любого конечного числа событий:

Теорема (умножения вероятностей n любых событий):

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1A2) . . . P (An|A1A2 . . . An−1).

Пример. Студент выучил 20 из 25 вопросов к экзамену. Преподаватель случайным образом задал 3 вопроса. Найти вероятность, что студент знает ответы на все 3 вопроса (оценка «5»).

Применим классическое определение вероятности и формулу вероятности произведения событий. Пусть Ak - событие, означающее, что на k-й вопрос билета студент знает ответ, k = 1, 2, 3. Нас интересует вероятность события A1A2A3:

4.3Независимость событий.

Правило умножения вероятностей взаимно независимых событий

4.3.1 Независимость двух событий

Мы уже видели на примерах, что безусловная и условная вероятности P (A) и P (A|B) в общем случае различны, т. е. наступление события B может изменить вероятность события A. Случай, когда такого изменения не происходит, квалифицируется особо.

Определение. Событие A называется не зависящим от события B, если его условная и безусловная вероятности совпадают, т.е. выполняется равенство

P (A|B) = P (A).

В этом случае общая формула вероятности произведения событий упрощается и принимает вид

P (AB) = P (A)P (B).

Она выражает правило умножения вероятностей для двух независимых событий. Замечание. Понятие независимости двух событий - взаимное, симметричное. Дей-

ствительно, запишем

P (AB) = P (A)P (B) = P (A)P (B|A) P (B|A) = P (B),

т.е. если A не зависит от B, то и B не зависит от A. Предполагается при этом, что все вероятности отличны от нуля.

Определение. Два события называются независимыми, если условная вероятность любого из них равна безусловной, т.е. выполняются равенства

P (A) = P (A|B), P (B) = P (B|A).

Теорема. Два события называются независимыми, если условная вероятность любого из них равна безусловной.

Теорема. Формула P (AB) = P (A)P (B) является необходимым и достаточным условием независимости двух событий.

21