3.1.9. Інтервали довіри до коефіцієнтів регресії

Коефіцієнти регресії а_i, як і коефіцієнти кореляції, мають t –розподіл Стьюдента. Тому довірчі інтервали для невідомих нам істинних коефіцієнтів регресії _i визначається так:

а_i – ≤ α_i ≤ а_i + . (3.23)

У нашому прикладі а_Е = 0,6556, = 0,0876 , α_K = 0,0569,= 0,0227, а₀ = 3,2427, = 0,644. Отже можна стверджувати, що істинні коефіцієнти регресії знаходяться в межах

0,6556 – 0,0876 ≤ α_E ≤ 0,6556 + 0,0876 ,

0,0569 – 0,0227 ≤ α_K ≤ 0,0569 + 0,0227,

3,2427 – 0,644 ≤ α₀ ≤ 3,2427 + 0,644

або

0,568 ≤ α_E ≤ 0,743,

0,0333 ≤ α_K ≤ 0,0796 ,

2,599 ≤ α₀ ≤ 3,887 .

Зауважимо, що коли інтервал довіри включає число “нуль”, відповідний фактор безумовно незначущий, бо помилка коефіцієнта регресії перевишує його величину. Зауважимо також, що такі випадки не трапляються, якщо на стадії ідентифікації фактори тестувалися на автономність впливу (див. підрозділ).

3.2. Прогнозування залежної змінної

3.2.1. Прогнозування на парних моделях

Парну (просту) лінійну регресію

після перевірки її на адекватність і значущість параметрів і(див. підрозділ 5.7) ми можемо використовувати для прогнозування (розрахунків) залежної змінноїу для будь-яких прогнозних значень змінної х. Слід мати на увазі, що рівняння регресії надійно відображає залежність в межах абсолютного розмаху варіації х (). Тому при прогнозних значеннях х, що виходять за ці межі, надійність прогнозу знижується. Отже інтерполяція за регресією незаперечна, а інтерполяція має бути обережною.

Розрізняють два типа прогнозів за рівнянь регресії: точкові й інтервальні.

Точковий прогноз залежної змінної визначають підстановкою у рівняння регресії прогнозного значення фактора:

.

Прогнозне значення є точковою оцінкою дійсного значення, яке, як відомо, дорівнює

,

де - значення неспостережуваної випадкової величини. Оскільки дійсне значеннявідрізняється від прогнозного, то необхідна побудоваінтервального прогнозу – інтервалу довіри для , в якому із заданою ймовірністю буде знаходиться дійсне значення.

Інтервал довіри для математичного сподіваннявизначається за формулою

, (3.24)

де, як і раніше, - середньоквадратичне відхилення випадкової величиние . Нагадаємо, що

.

Розглянемо умовний приклад. Рівняння регресії має такий вигляд:

;

=22; - 0,75; =8,06; =22,3. Тоді, для прогнозного значення =10 точковий прогнозстановить

=5,67+2,72*10=32,87.

Інтервал довіри за формулою (3.24) дорівнює

σ= 0,75.

Отже, дійсне значення з ймовірністю 0,95 має знаходитися в межах

32,87 – 0,35 ≤≤ 32,87+0,35,

або

32,52 ≤≤ 33,22.

Зауважимо, що помилка прогнозу не постійна. Як видно з формули (3.24), в міру збільшення або зменшення прогнозних значеньвідносно помилка прогнозу зростає. Наприклад, при =15 помилка прогнозу зросте за формулою (3.24) до 1,11. якщо =5, то вона також буде більшою, а саме 0,51. Найменша помилка прогнозу буде для ==8,06, в цьому разі вона дорівнює всього 0,16.

Отже на віддалених ділянках варіації незалежної змінної помилки прогнозу залежної змінної зростають, а довіра до прогнозу зменшується (рис.3.4).

Рис. 3.4 − Границі помилок прогнозу для парної лінійної регресії

Інтервали довіри до прогнозу будуються заздалегідь шляхом варіювання в розумних межах. Це усуває необхідність визначати інтервали довіри в кожному окремому випадку прогнозування залежної змінної.