2.2.3. Спосіб перших різниць

Спосіб перших різниць для обґрунтування аналітичної форми рівняння регресії передбачає послідовне виконання наступних дій.

1) Групування об‘єктів спостереження за фактором (факторами) , для чого спочатку розраховують інтервал групування за формулою

. (2.21)

У нашому прикладі інтервал, наприклад, за фактором Е дорівнює

Отже (див.рис.1.5) утворилось шість груп об’єктів спостереження.

2) У кожній групі визначають середні арифметичні значення .

3) Визначають перші різниці між наступним і попереднім значенням за групами. Такі розрахунки для аналітичного обґрунтування форм залежностіу від , на прикладі залежності Р від Е подані в табл. 2.3.

Таблиця 2.3 − Перші різниці зростання Р при збільшенні фактора Е

Інтервал по Е
1-2	3	6,7; 7,3; 5,4	19,4	6,47	-
2-3	4	7,9; 8,9;, 8,9; 7,5	32,3	8,08	+1,61
3-4	4	9,5; 9,1; 7,9; 9,3	35,8	8,95	+0,87
4-5	5	10,9; 9,7; 10,6; 8,5; 9,2	48,9	9,78	+0,83
5-6	4	9,8; 11,2; 11,5; 9,5;	42,0	10,5	+0,72
6-7	4	11,5; 11,4; 13,04 10,6	46,5	11,63	+1,13
7-8	5	10,1; 12,7; 10,4; 12,5; 12,0	57,7	11,54	-0,09
Сума	29		282,6	9,74

4) Якщо перші різниці однакові (приблизно однакові) або різні, але не виявляють закономірності зменшення, чи збільшення, то слід вибирати лінійну форму регресії. Саме такий випадок (див.табл.2.3) і спостерігається в залежностіР від Е у нашому прикладі. Отже аналітична форма регресії Р-Е найбільш ймовірно є лінійною.

Якщо перші різниці виявляють явну тенденцію до збільшення або зменшення, треба вибирати криволінійну форму регресії з одним поворотом (квадратичну, гіперболічну, степеневу, експоненту).

Якщо ж перші різниці нагадують ординати нормального розподілу (спочатку збільшується, а потім зменшується і навпаки), то вибирають криволінійну форму регресії з двома поворотами (парабола 3-го порядку, логістична крива, або крива Гомперця).

2.2.4. Лінеаризація нелінійних рівнянь регресії

Оцінювання параметрів рівняння регресії, як буде показано далі (див. підрозділ 3.1.2), ґрунтується на ряді об’єктивних припущень.

Перше припущення вимагає, щоб рівняння регресії мало лінійну форму. Але в економіці часто зустрічаються залежності як квазілінійні, так і суттєво нелінійні!

Використання цього класу регресії для побудови економетричних моделей пов‘язано з обчислювальними труднощами тому, що вказані регресії не допускають безпосереднього застосування класичного методу найменших квадратів для оцінювання параметрів рівнянь регресії. Щоб зробити це можливим, початкові дані спостережень піддають перетворенням з метою лінеаризації залежностей, тобто наданням їм лінійної форми.

Для квазілінійної регресії таке перетворення означає заміну значень незалежних змінних. Наприклад, в регресійному рівнянні гіперболічної форми

1/х можна замінити змінною z=1/х і отримати рівняння лінійної форми

Аналогічно можна лінеаризувати квадратичну функцію (параболу)

замінивши , тоді

Для суттєво нелінійних регресій лінеаризація досягається, як правило, шляхом логарифмування рівнянь регресії. Нижче наводимо логарифмічні перетворення найуживаніших суттєво нелінійних регресій, що розглядалися в підрозділі 2.2.2:

степенева

→lgy=lg+ lgx