3.1.7. Значущість (адекватність) рівняння регресії

Для перевірки значущості (адекватності) рівняння регресії використовують F – статистику Фішера, або t – статистику Стьюдента, що еквівалентно (бо F = t²).

У випадках парної (простої) регресії твердження про значущість (адекватність) моделі справедливе, якщо

F ≥ F_крит,

де

F = S_ŷ / S_e (3.13)

і, відповідно,

S _ŷ = , S_e = (3.14)

Для оцінки F – відношення порівняємо з критичним значенням за таблицею F – розподілу Фішера (додаток 5) при ступенях свободи к₁ = n і к₂ = n – 2.

Наприклад, S_ŷ = 86,35, S_e = 2,10, n = 26. Тоді

F == 41,12,

а F_крит при к₁ = 1, к₂ = 26 – 2 = 24 і Р= 0,95 становить 4,26. Отже рівняння регресії адекватне, оскільки 41,12 > 4,26.

У випадках багатофакторної регресії значущість (адекватність) моделі перевіряється аналогічно, але при ступенях свободи для чисельника к₁ = m і к₂ = n – m – 1 для знаменника, тоді формули (3.14) набирають вигляду

S _ŷ = , S_e = . (3.15)

Перевіримо побудовану нами двофакторну економетричну модель рентабельності (3.3) на значущість (адекватність) за формулами (3.13) і (3.15).

Для розрахунку S_ŷ попередньо знайдемо . Використаємо співвідношення дисперсійного ANOVA – аналізу

= + (3.16)

Із табл 2.5. знаходимо = 3,4037, а з табл 3.3е_j² = 10,673. Враховуючи, що n = 29, маємо

= 3,4037 * 29 – 10,683 = 98,707 – 10,683 = 88,024.

До речі, за даними ANOVA-аналізу можна визначити і коефіцієнт множинної кореляції за формулою

R_12…m = . (3.17)

У нашому прикладі він становить

R₁₂ = = = 0,9434,

що співпадає з раніше визначеним за формулами (3.8) і (3.10).

Повернемося до перевірки адекватності рівняння регресії (3.3). За формулами (3.15) отримуємо

S _ŷ == 44, 012 , S_e = = 0,411,

отже F == 107,08.

За додатком 5 при к₁ = m = 2 і к₂ = n – m – 1 = 29 – 2 – 1 = 26 знаходимо F_крит= 3,38_. Робимо висновок, що побудована нами модель адекватна, оскільки 107,88 > 3,38 при Р= 0,95.

Між F – критерієм Фішера і вже засвоєним нами коефіцієнтом детермінації R² (d) існує простий зв’язок. Доведено, що

F = *. (3.18)

У нашому наскрізному прикладі за формулою (3.18) маємо розрахункове значення F

F = * = 107,08 ,

як і раніше.

3.1.8. Перевірка значущості параметрів моделі

Для простої (парної) регресії значущість параметрів а_о і а₁ перевіряється за допомогою t – статистики Стьюдента:

= ,=, (3.19)

де

= ,=. (3.20)

Для множинної регресії значущість параметрів а_i також перевіряється за допомогою t – статистики Стьюдента (3.19) з визначенням середньо – квадратичних помилок коефіцієнтів регресії за формулою

= . (3.21)

Визначимо для побудованої нами економетричної моделі рентабельності. Попередньо з табл. 2.5 знайдемо= 1,8449,= 1,9591,= 11,3927,r_PE = 0,8981, r_PK = 0,7513, тоді

= =0,0876 ,

= = 0,0227.

На жаль таког "алгебраїчного" способу для розрахунку помилки параметра а₀ не існує. Таку можливість дає застосування методу оберненої матриці. Нагадаємо, що для нашого прикладу вона така (3.7)

Елементи головної діагоналі оберненої матриці дозволяють дуже просто розрахувати середньоквадратичні відхилення (помилки) коефіцієнтів регресії а_i (i = ) за формулою

= (i = j), (3.22)

де b_ij – елементи головної діагоналі оберненої матриці А^-1.

У нашему прикладі, враховуючи, що

== 0,411,

помилки коефіцієнтів регресії за формулою (3.22) відповідно складають:

= = 0,644,

= = 0,0876,

= = 0,0227,

що співпадає з раніше визначеними помилками параметрів і.

Далі за формулою (3.19) визначаємо t – статистики Стьюдента:

t_E = = 7,527 ; t_K = = 2,529.

За додатком 3 при 29 – 2 – 1 = 26 і Р= 0,95 знаходимо, що t_крит= 2, 048. Отже є підстави вважати, що всі параметри рівняння регресії (3.3) статистично значущі: 5,035, 7,527 і 2,529 > 2,048.