Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЕКОНОМЕТРІЯ. НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК 2009.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

3.1.3. Метод найменших квадратів

Ідею методу найменших квадратів (МНК) вчені сформулювали ще на початку ХІХ ст., а саме англієць Гаус і француз Лежандр. Але МНК як метод оцінювання параметрів рівнянь регресії, був опрацьований пізніше російським математиком М. Чебишевим в монографії “Об интерполировании по методу наименьших квадратов”, що вийшла друком у 1859 р.

Метод найменших квадратів (МНК) заснований на вимозі, щоб

 (y - ŷ)2 → min, (3.1)

тобто щоб відхилення точок поля кореляйії від прямої регресії (залишки е) були найменшими. Відхилення yŷ є помилкою оцінювання, бо залишки е не пояснюється рівнянням регресії (див. рис. 3.1.).

Ми можемо визначити величину цих помидок тільки для об’єктів спостережень (точок поля), але для інших можливих комбінаційy і х вони невідомі. Цілком природно за “найкращу” пряму лінію регресії вибрати таку, для якої б сума квадратів залишків приймала найменше Рис.3.1 − Залишки, що не значення, тобто

пояснюються регресією.

= (y x)2 =→ min.

Необхідною умовою мінімуму є рівність нулю частинних похідних цієї функції по і :

= 2 =0;

= 2 =0

Розкривши дужки, отримаємо систему нормальних рівнянь з невідомими і :

= a0 + a1 ; (3.2)

= a0 + a1 .

Наведемо давно підмічені правила і приклади складання системи нормальних рівнянь для будь – яких форм рівняння регресії. Правило перше: перше рівняння системи отримуємо, сумуючи рівняння регресії за всіма спостереженнями змінних. Наприклад, для трифакторної лінійної регресії

y = αо + α1 x1 + α2 x2 + α3 x3

перше рівняння системи за цим правилом матиме вигляд

y = αо 1 + α1 x1 + α2 x2 + α3 x3

Друге правило: друге, третє і всі інші рівняння систем отримують множенням першого рівняння на співмножники відповідно при а1, а2 и т.д. у рівнянні регресії. У даному випадку множенням першого рівняння відповідно на x1, x2 та x3 отримаємо друге, третє і четверте рівняння системи

y x1 = αо x1 + α1 x12 + α2 x2 x1 + α3 x3 x1,

y x2 = αо x2 + α1 x1 x2 + α2 x2 2 + α3 x3 x2,

y x3 = αо x3 + α1 x1 x3 + α2 x2 x3 + α3 x3 2.

Ще приклад. Нехай рівняння регресії має степеневу форму

y = αо.

Лінеаризуємо його

g y = ℓg αо + α1 ℓgx.

Система нормальних рівнянь для визначення ℓg αо і α1, складена за наведеними щойно правилами, приймає такий вигляд:

 ℓg y = ℓg αо 1 + α1 ℓgx,

 ℓg y ℓgx = ℓg αо ℓgx + α1 (ℓgx)2.

У нашому наскрізному прикладі моделювання залежності рентабельності від двох факторів

Р = αо + α1 Е + α2 К

система нормальних рівнянь для оцінювання αо, α1, та α2 складена за наведеними вище правилами, така:

Р = αо 1 + α1 Е + α2 К,

РЕ = αо Е + α1 Е2 + α2 К Е,

РК = αо К + α1 ЕК + α2 К2.

За даними табл. 1.5. і 2.1 перепишемо цю систему рівнянь в числах:

282,6 = 29 αо + 136,6 αЕ + 1740 αК,

1425,26 = 136,6 αо + 754,72 αЕ + 8567,7 αК, (3.3)

17413,9 = 1740 αо + 8567,7 αЕ + 108164 αК.

Нижче розглядаються декілька можливих способів розв’язання системи нормальних рівнянь.

Спосіб Гаусса

Якщо вирішення системи нормальних рівнянь (3.3) виконується вручну, можна скористатися методом Гаусса послідовного вилучення невідомих. Поділимо рівняння системи на числові співмножники при αо, тобто відповідно на 29, 136,6 і 1740 і отримаємо

9,7448 = αо + 4,7103 αЕ + 60,0000 αК,

10,4338 = αо + 5,5250 αЕ + 62,7211 αК,

10,0080 = αо + 4,9240 αЕ + 62,1632 αК.

Віднімемо перше рівняння від другого і третього і отримаємо систему двох рівнянь з невідомими αЕ і αК

0,6890 = 0,8147 αЕ + 2,7211 αК,

0,2632 = 0,2137 αЕ + 2,1632 αК.

Поділимо систему рівнянь на числові співмножники при αЕ і отримаємо

0,8457 = αЕ + 3,3400 αК,

1,2316 = αЕ + 10,1226 αК.

Віднімемо перше рівняння від другого, маємо

0,3859 = 6,7826 αК,

звідки αК = 0,0569. Повертаючись послідовно до отриманих раніше рівнянь, знаходимо

αЕ = 0,6556 і αо = 3,2427.

Отже рівняння регресії рентабельності за енергоозброєністю праці і коефіцієнтом постійності складу ПВП має такий вигляд:

= 3,2427 + 0,6556 Е + 0,0569 К. (3.4)

У цьому рівнянні регресяї:

3,2427 – частка рентабельності, яка не задежить від Е і К і обумовлена всіма

іншими факторами, коп./ грн.;

0,6556 – підвищення рентабельності в коп./ грн. при зростанні

енергоозброєності праці на 1 кВт/ чол.;

0,0569 – підвищення рентабельності в коп./ грн. при зростанні коєфіцієнта

постійності складу ПВП на 1%.

Нехай вас не дивують десяті й соті частки копійки коефіцієнтів регресії! Допустимо, що витрати підприємства складають 10 млн. грн. Тоді вони становимимуть відповідно 65,6 та 5,69 тис. грн. зростання прибутку!

З першого рівняння системи (3.2) з урахуванням того, що

еj = yj – ŷj = yj – ао – а1 хj ,

випливає, що сума помилок (залишків) еj, а значить і їх середньоарифметичне значення дорівнюють нулю. Отже  еj = 0 і тоді ŷj = yj. Це дуже важлива і необхідна ознака правильності оцінювання параметрів рівняння регресії за методом найменших квадратів.

Спосіб детермінантів

Спосіб детермінантів (визначників) заснований на теорії матричної алгебри і пов'язаний з розрахунком визначників, кількість яких на одиницю перевищує кількість параметрів, що оцінюються.

Побудуємо матрицю числових коефіцієнтів правої частини системи нормальних рівнянь за МНК (3.3). У нашому наскрізному прикладі вона має вигляд

А = .

Знайдемо визначник матриці А

А = == 8140967.

Далі послідовно замінюватимемо стовпці матриці А стовпцем вільних членів системи нормальних рівнянь за МНК, тобто

.

і розрахуємо визначники ∆А0, ∆А1 і ∆А2. Покажемо визначення ∆А0:

А0 = == 26394000.

Замінюючи в матриці А другий стовпчик стовпцем вільних членів, отримуємо

А1 = = 5337218

і, нарешті, аналогічно

А2 = = 463221.

Параметри рівняння регресії, включаючи ао розраховуємо за формулою

аі = , (3.5)

тобто

а0 = 26394000 / 8140967 = 3,2427,

а1 = 5337218 / 8140967 = 0,6556,

а2 = 463221 / 8140967 = 0,0569.

Отже, маємо = 3,2427 + 0,6556Е + 0,0569

Таким чином ми отримали методомдетермінантів, як і сподівались, те саме рівняння регресії (3.4), що і раніше шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь за схемою Гаусса.

Спосіб оберненої матриці

Побудуємо матрицю, обернену до матриці А, тобто матрицю А-1. Для цього до кожного елемента аij матриці А знаходимо його алгебраїчне доповнення, тобто визначники відповідних матриць 2-го порядку. Отже матриця А така:

.

Алгебраїчне доповнення до елемента а11 = 29 – це визначник матриці без 1-го стовпця і 1-го рядка (іномер стовпця, jномер рядка), тобто мінор з індикатор знака – 1i+j. Отже

А11 = = 81633534 – 73405483 = 8228051.

Далі розрахуємо вісім інших алгебраїчних доповнень:

до елемента а12 = 136,6:

А12 = – =+ 132596,

до елемента а13 = 1740:

А13 = = – 142865,

до елемента а21 = 136,6:

А21 = – = + 132596,

до елемента а22 = 754,72:

А22 = = 109156,

до елемента а23 =8567,7:

А23 = – = – 10779,

до елемента а31 = 1740:

А31 = = – 142865,

до елемента а32 = 8567,7:

А32 = – = – 10779,

до елемента а33 =108164:

А33 = = 3227,

Обернена матриця А-1 визначається діленням матриці алгебраїчних доповнень до елементів матриці А на ії визначник ∆А:

А-1 = . (3.6)

У нашому прикладі обернена матриця А-1 набуває вигляду

А-1 = * = .

Отже обернена матриця А-1 така

(3.7)

За допомогою оберненої матриці А-1 можна просто визначити коефіцієнти регресії. Для цього достатньо помножити обернену матрицю А-1 на стовпець вільних членів системи нормальних рівнянь за МНК. У нашому прикладі такий розрахунок аi виглядає так:

= *.

Отже

а0 = 1,010697 * 282,6 + 0,016288 * 1425,26 – 0,017549 * 17413,9 = 3,2427,

аЕ = 0,016288 * 282,6 + 0,013408 * 1425,26 – 0,001324 * 17413,9 = 0,6556,

аК = 0,0175549 * 282,6 – 0,001324 * 1425,26 + 0,000396 * 17413,9 = 0,0569.

Ми отримали, як і сподівались, ті самі коефіцієнти регресії, як і раніше в цьому підрозділі, а також і рівняння регресії

= 3,2427 + 0,6556 Е + 0,0569 К

Спосіб β - коефіцієнтів

Для розрахунку коефіцієнтів регресії аi можна скористатися β – коефіцієнтами, що зазвичай розраховуються раніше:

аi = βi . (3.8)

У нашому прикладі βЕ = 0,6963, βК = 0,3513, (див. підрозділ 3.5), σР = 1,8449, σЕ = 1,9591, σК = 11,3927 (див. табл 1.5). За цими даними за формулою (3.8) маємо

аЕ = 0,6963 = 0,6556,

аК = 0,3513 = 0,0569.

Діленням першого рівняння системи рівнянь для розрахунку параметрів аi на n маємо

= αо + α1 1 + α2 2 + … + αm m,

звідки знаходимо

αо = α1 1 α2 2 αm m. (3.9)

У нашому прикладі (див. табл 1.4)

αо = 9,7448 – 0,6556 * 4,7103 – 0,0569 * 60 = 3,2427.

Ми отримали за формулами (3.8) і (3.9) оцінки параметрів рівняння регресії, які ідентичні оцінкам, визначеним шляхом вирішення системи рівнянь за методом найменших квадратів будь-яким із наведених раніше способів.

Це і не дивно! Адже β – коефіцієнти є параметрами рівняння регресії, разрахованими методом найменших квадратів за стандартизованими значеннями таi :

= ,I = .

У стандартизованому масштабі одиницею виміру змінних як бачимо, є середньоквадратичні відхилення цих зміних. Тому і зв’язок між аi і βi такий:

аi = βi , βi = аi .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.