2.1.8. Коефіцієнт множинної кореляції і детермінації

Сила впливу на залежну змінну однієї окремо взятої незалежної змінної, як уже відомо, визначається коефіцієнтом парної кореляції. А як оцінити силу одночасного впливу на неї множини факторів разом узятих та ще і при наявності мультиколінеарності? Для цього використовуютькоефіцієнт множинної кореляції, який можна визначити за формулою А. Боярського:

(2.8)

У чисельнику (2.8)– визначник повної матриці коефіцієнтів кореляції із заміною одиниці у правому нижньому куті на нуль, а у знаменнику – визначник матриці коефіцієнтів взаємної кореляції. Визначник у чисельнику приймають в розрахунку за модулем.

Розрахуємо коефіцієнт множинної кореляції для нашого прикладу

а також множинний коефіцієнт детермінації

.

Останній показує, що 88,92 % варіації рентабельності пояснюється впливом двох факторів разом узятих, а 11,08% варіації, яку називають залишковою, є середньою помилкою апроксимації, притаманною рівнянню регресії, що розробляється.

Але ж раніше (підрозділ 2.1.2) ми визначали, що фактор Е пояснює 81%, а фактор К–56%, або 137% разом! Це ще раз свідчить про наслідки колінеарності факторів.

Як же розділити 88,92% між факторами? Доведено, що у множинній лінійній кореляції при наявності мультиколінеарності коефіцієнт частинної парної детермінації становить не , а

(2.9)

У нашому прикладі маємо

=0,6963*0,8981=0,6253; 62,5%,

=0,3513*0,7513=0,2639; 26,4%,

або 88,9% разом. Таким чином, різний рівень рентабельності у 29 підприємств на 62,5% пояснюється варіацією енергоозброєності праці і на 26,4% – варіацією коефіцієнта постійності складу ПВП.

Розглянута щойно властивість β-коефіцієнтів дозволяє набагато простіше розрахувати коефіцієнт множинної кореляції. Замість формули (3.8) можна скористатися

(2.10)

У нашому прикладі, як і очікувалось, за формулою (2.10) отримаємо вже відому міру сили множинної кореляції

.

2.1.9. Тестування значущості вкладу факторів у множинну детермінацію

Абсолютна величина вкладу будь-якого фактора у множинну детермінацію визначається коефіцієнтом частинної детермінації (2.9) , тобто

бо <1.

Отже мова йде про те, чи достатньо значущий доданок у сумарній величині. Для з‘ясування цього використовуємоρ-тест:

(2.11)

де - коефіцієнт множинної кореляції за умови виключення і-го фактора. Застосування ρ-тесту доволі трудомістке, адже треба розрахувати окрімщет коефіцієнтів множинної кореляції . Наприклад, якщо факторів чотири, треба визначити п‘ять коефіцієнтів множинної кореляції:,,,,. Зауважимо, що для розрахунку будь-якого з них необхідно в кожному разі заново розрахувати значення.

Тестування факторів за ρ-тестом ґрунтується саме на порівнянні значень двох коефіцієнтів множинної детермінації: 1) за всіма т факторами і 2) за т-1 факторами, тобто без фактора, що тестується. Якщо розрахункове значення ρ_і значуще, то з певною ймовірністю маємо . Для ймовірності 0,95 цей тест відповідає умовіρ_і1,96.

У нашому прикладі значення такі:

,

.

Вклад фактора енергоозброєності праці в множинну детермінацію рентабельності значущий і з ймовірністю більше 0,95 повинен вводитися до рівняння регресії (2,277>1,96). Про вклад фактора постійності ПВП з такою впевненістю стверджувати не можна, адже 1,148<1,96. але це не значить, що він взагалі незначущий. Звернемося до таблиці нормального розподілу (додаток 1) і визначимо ймовірність, що відповідає коефіцієнту довіри t=1,148. Вона становить 0,75. Отже значущість вкладу цього фактора можна стверджувати з ймовірністю 0,75, що не так уже й сумнівно.