При большом объеме выборки используется группированный статистический ряд. Для этого все элементы выборки распределяются по группам или интервалам группировки. Интервал, содержащий все элементы выборки разбивается на k непересекающихся интервалов
(a0 , a1 ), (a1, a2 ),…,(ak−1, ak ),
не обязательно равных по длине. |
|
|
|
||||
|
Если l i – число элементов выборки, попавших в интервал (ai−1 ,ai ), а |
||||||
p = |
l i |
их частота, то можно составить таблицу |
|
|
|||
|
|
|
|||||
i |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Границы |
|
Относи- |
|
|
|
|
интер- |
интервала |
Частоты |
тельные |
|
|
|
|
вала |
|
|
частоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(a0 , a1 ) |
l1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
(a1, a2 ) |
l 2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
k |
(ak−1, ak ) |
l k |
p |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта таблица называется группированным статистическим рядом.
Если наблюдаемое значение попадает на границу соседних интервалов, то число его наблюдений относят либо к правому интервалу, либо к левому, либо делят поровну между интервалами.
ТАБЛИЦА 12.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Понятие |
Определение |
|
|
|
|
Генеральная |
Множество всех объектов с определенным изучаемым |
|
совокупность |
признаком. Значение признака – случайная величина X . |
|
|
|
|
|
Множество значений случайной величины X , получен- |
|
Выборка |
|
|
|
ных при проведении n наблюдений. |
|
|
Количество n значений случайной величины X в вы- |
|
Объем выборки |
|
|
|
борке (количество наблюдений). |
|
|
148 |
|
|
|
Понятие |
|
|
|
|
|
Определение |
|
|
|
|
|
||
Варианта |
xi |
– наблюдаемые значения случайной величины X . |
||||
|
Количество m вариант (различных значений случайной |
|||||
Размах выборки |
||||||
|
величины X ) в выборке. |
|||||
|
Натуральное число ni – количество вариант xi в выбор- |
|||||
Абсолютная |
||||||
частота (частота) |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ке. |
|
|
|
∑ni = n . |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
Отношение абсолютной частоты к объему выборки: |
|||||
Относительная |
||||||
частота |
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|||||
|
pi |
= |
i |
. |
∑pi =1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.1.1.2. Графическое представление случайной выборки
Для наглядного представления выборки используют гистограмму и полигон частот.
Гистограмма относительных частот строится по группированному ста-
тистическому ряду. Для этого находятся относительные частоты
|
|
|
|
|
p |
|
|
fi |
= |
|
|
|
i |
(статистическая плотность) i =1, 2,…,k . |
|
|
ai |
− ai−1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с |
|||||||
основаниями (a |
|
, a |
i |
) и высотами |
f , i =1, 2,…,k (Рис. 12.1.1). При увеличе- |
||
|
i−1 |
|
|
i |
|||
нии объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения f (x) генеральной совокупности.
Полигон относительных частот – это ломаная линия с вершинами
(xi , pi ), i =1, 2,…,m , взятыми из статистического ряда (Рис. 12.1.2).
149
f *i |
|
p *i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р1* |
р*2 |
р*3 |
р*4 |
р*5 |
a 0 a 1 0 a 2 a 3 a 4 x |
x 1 0 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 x |
РИС. 12.1.1 |
|
РИС. 12.1.2 |
|
||
12.1.1.3. Точечные и интервальные оценки
Точечной оценкой θ неизвестного параметра θ называется приближенное значение этого параметра, полученное по выборке.
1. Точечная оценка |
mx математического ожидания (выборочного |
||||||||||
среднего) x находится по формуле |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
mx = x = |
i=1 |
. |
|
(53) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2. Точечная оценка Dx |
дисперсии Dx находится по формуле |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi − mx )2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
D = |
i=1 |
|
|
|
. |
(54) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
n |
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Точечная оценка σx |
среднего квадратического отклонения равна |
||||||||||
|
|
|
|
|
σx = |
|
Dx . |
|
(55) |
||
Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал, со- |
|||||||||||
держащий значение θ с заданной вероятностью β. |
|
||||||||||
Число β называется доверительной вероятностью. |
|
||||||||||
Пусть β = P{ |
|
θ − θ |
|
< ε} |
– заданное число (оно обычно равно 0,8 , |
0,9 , |
|||||
|
|
||||||||||
0,95, …). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
||||
θ − θ < ε − ε < θ − θ < ε θ − ε < θ < θ + ε , 150