Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЗаданияСР_Математ_036401.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.31 Mб
Скачать

Тема 8. Функциональные ряды

8.1.Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов

8.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

8.1.1.1. Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции

u1 (x)+ u2 (x)+ u3 (x)+... + un (x)+... = un (x)

n=1

называется функциональным рядом.

Точка x0 , в которой функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости ряда.

Множество точек сходимости ряда называется областью сходимости ря-

да.

В каждой точке области сходимости определена сумма ряда. Следова-

тельно, на области сходимости ряда определена функция S (x), являющаяся суммой функционального ряда

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) +... + un (x) +... = S (x).

8.1.1.2. Область сходимости степенного ряда

 

Степенным рядом называется ряд вида

 

 

a0 + a1 (x x0 )+ a2 (x x0 )2 +... + an (x x0 )n +... = an (x x0 )n . (28)

Область сходимости степенного ряда

n=0

имеет вид интервала

(x0 R, x0 + R), симметричного относительно точки

x0 (рис. 8.1.1), включая,

быть может, его концы.

 

Область сходимости

x0 R x0 x0 + R x

РИС. 8.1.1

106

Интервал (x0 R, x0 + R) называется интервалом сходимости степенно-

го ряда (28), а число R называется радиусом сходимости ряда

Замечания:

1) В точках x0 R, x0 + R степенной ряд может сходиться или расхо-

диться, что требует дополнительного исследования.

2) Если R = 0, то областью сходимости ряда является единственная точка

x0 .

3) Если R = ∞, то областью сходимости ряда является вся числовая ось

(−∞,).

8.1.1.3. Схема нахождения области сходимости степенного ряда (28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n .

1) Составим ряд из модулей членов степенного ряда

 

an

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) К полученному знакоположительному ряду применим признак Далам-

бера (или Коши)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(x)

 

u

 

(x)

 

 

a

 

 

 

 

x x

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

n+1

 

= lim

 

 

 

n+1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

=

 

x x

 

lim

 

 

 

 

n+1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

n→∞

 

a

n

 

 

 

 

x x

 

 

 

n

 

 

 

 

0

 

n→∞

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Так как ряд сходится, если D <1, то для нахождения области сходимо-

сти степенного ряда решаем неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(x)<1

 

x x

 

 

lim

 

 

an+1

 

 

<1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n→∞

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате решения неравенства получим интервал сходимости ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0 R, x0 + R),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где R = lim

 

 

 

an

 

 

(по признаку Даламбера) или R = lim n

 

a

n

 

 

(по признаку Ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an+1

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ши).

4)Исследуем ряд на концах интервала в точках

x= x0 R, x =x0 + R .

5)Запишем ответ.

107

8.1.1.4. Ряд Тейлора

Функция f (x) называется аналитической в точке x0 , если в некоторой окрестности этой точки она является суммой степенного ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)= an (x x0 )n .

 

 

 

 

 

 

Если функция f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 , то имеет место

является аналитической в точке

 

равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)= f (x

)

 

 

f (x

)

 

(x x

)+

f

′′(x

)

(x x

)

2

 

+

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

+...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1!

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2!

 

0

 

 

(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n)(x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x

)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

... +

 

 

 

 

 

0

 

 

+... .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд, стоящий в правой части равенства (29) называется рядом Тейлора

функции f (x) в окрестности точки

x0 (или по степеням (x x0 )). Равенство

(29) называется разложением функции

f (x) в степенной ряд.

 

Если x0 = 0 , то равенство (29) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

f (x)= f (0)

+

 

f

(0)

x +

 

f

′′(0)

x2

+... +

f (n) (0)

 

xn +...

 

 

1!

 

 

2!

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

иназывается рядом Маклорена функции f (x) в окрестности точки x0 = 0 .

8.1.1.5.Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

Известны разложения в степенной ряд в окрестности точки x0 = 0 (или по степеням x ) следующих элементарных функций, а также интервалы, на кото-

рых эти разложения имеют место:

 

 

 

 

 

 

1)

разложение функции ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex =1

+

x

+

x2

+... +

xn

+..., (−∞, );

 

 

 

 

n!

 

 

 

1!

2!

 

 

 

 

2)

разложение функции sin x

 

 

 

 

 

 

 

sin x = x

x3

+

x5

... + (1)n

 

x2n+1

 

+..., (−∞, );

 

 

 

(2n +1)!

 

3!

5!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108