Тема 8. Функциональные ряды

8.1.Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов

8.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

8.1.1.1. Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции

∞

u1 (x)+ u2 (x)+ u3 (x)+... + un (x)+... = ∑un (x)

n=1

называется функциональным рядом.

Точка x0 , в которой функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости ряда.

Множество точек сходимости ряда называется областью сходимости ря-

да.

В каждой точке области сходимости определена сумма ряда. Следова-

тельно, на области сходимости ряда определена функция S (x), являющаяся суммой функционального ряда

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) +... + un (x) +... = S (x).

Область сходимости

x0 − R x0 x0 + R x

РИС. 8.1.1

106

Интервал (x0 − R, x0 + R) называется интервалом сходимости степенно-

го ряда (28), а число R называется радиусом сходимости ряда

Замечания:

1) В точках x0 − R, x0 + R степенной ряд может сходиться или расхо-

диться, что требует дополнительного исследования.

2) Если R = 0, то областью сходимости ряда является единственная точка

x0 .

3) Если R = ∞, то областью сходимости ряда является вся числовая ось

(−∞,∞).

8.1.1.3. Схема нахождения области сходимости степенного ряда (28)

ши).

4)Исследуем ряд на концах интервала в точках

x= x0 − R, x =x0 + R .

5)Запишем ответ.

107

8.1.1.4. Ряд Тейлора

Функция f (x) называется аналитической в точке x0 , если в некоторой окрестности этой точки она является суммой степенного ряда

иназывается рядом Маклорена функции f (x) в окрестности точки x0 = 0 .

8.1.1.5.Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

Известны разложения в степенной ряд в окрестности точки x0 = 0 (или по степеням x ) следующих элементарных функций, а также интервалы, на кото-