∞

2) из расходимости несобственного интеграла J = ∫ f (x)dx , следует рас-

1

ходимость ряда.

7.1.2. Контрольные вопросы

Что называется числовым рядом?

Что называется частичными суммами числового ряда?

Дайте определение сходящегося и расходящегося числового ряда. Какой ряд называется рядом геометрической прогрессии, и при каком значении знаменателя q он сходится?

Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда. Сформулируйте достаточный признак расходимости ряда. Будет ли необходимый признак достаточным?

Сформулируйте признак сравнения в общей и предельной формах. Сформулируйте признаки Даламбера и Коши.

Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда.

7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов

7.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

7.2.1.1. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница

Ряды вида

∞

u1 − u2 + u3 −... + (−1)n+1 un +... = ∑(−1)n+1 un ,

n=1

∞

−u1 + u2 − u3 +... + (−1)n un +... = ∑(−1)n un ,

n=1

где все un > 0, называются знакочередующимися рядами.

Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда). Пусть знакочередующийся ряд

u1 − u2 + u3 −... + (−1)n+1 un +...

удовлетворяет условиям:

1) u1 >u2 ,> u3 >... – монотонно убывают,

2) lim un = 0 .

n→∞

103

Тогда ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам:

S > 0, S < u1 .

7.2.1.2. Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда

∞

Рассмотрим ряд ∑un , члены которого имеют произвольные знаки. Такой

n=1

ряд называется знакопеременным.

Составим ряд из модулей членов знакопеременного ряда

∞

∑un .

n=1

Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда

∞

Если сходится ряд из модулей членов знакопеременного ряда ∑un , то

n=1

∞

сходится и сам знакопеременный ряд ∑un .

n=1

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд из модулей его членов расходится.

7.2.1.3. Схема исследования знакочередующихся рядов на сходимость

∞

1) Для данного знакочередующегося ряда ∑(−1)nun (un ≥ 0 ) составим ряд

n=1

∞

из модулей его членов∑un и исследуем его на сходимость, используя призна-

n=1

ки сходимости знакоположительных рядов.

∞

2) В зависимости от поведения ряда ∑un дальнейшее исследование раз-

n=1

деляется на случаи:

104