Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЗаданияСР_Математ_036401.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.31 Mб
Скачать

Тема 3. Аналитическая геометрия

3.1. Основные задачи аналитической геометрии

3.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения

ТАБЛИЦА 3.1.1. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Ax + By + C = 0 (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ), A2 + B2 0

Название

 

 

Уравнение

 

 

 

Смысл

 

 

 

Геометрическое

уравнения

 

 

 

 

параметров

 

 

 

 

изображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Каноническое

 

x x0

=

y y0

 

M0 (x0 , y0 )

– точ-

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

пря-

 

m

n

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

M0

 

 

 

ка на прямой,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мой.

 

 

 

 

 

 

 

S = (m,n)

– на-

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правляющий век-

 

 

 

 

O

 

 

x0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тор прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Уравнение пря-

 

A(x x ) +

 

M

0

(x , y ) – точ-

 

 

y

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мой

с нормаль-

 

+B( y y0 ) = 0

 

ка на прямой,

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

M0

ным вектором.

 

 

 

 

 

N = (A, B)

нор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мальный

вектор

 

 

O

 

 

 

 

x0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Уравнение

пря-

 

y = kx + b

 

k = tg α – угловой

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

мой с угловым ко-

 

 

 

 

 

коэффициент,

 

 

 

 

 

 

 

α

}

b

 

 

 

 

эффициентом.

 

 

 

 

 

 

b – отрезок, отсе-

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

каемый

на

оси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Уравнение

пря-

 

y y0 =

 

k = tg α – угловой

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мой,

проходящей

 

= k(x x0 )

 

коэффициент,

 

y0

 

 

 

 

M0

α

через данную точ-

 

 

 

 

 

M0 (x0 , y0 )

точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

x

ку в

данном

на-

 

 

 

 

 

ка на прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правлении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

Название

Уравнение

Смысл

 

Геометрическое

 

уравнения

параметров

изображение

 

 

 

 

 

 

 

5.

Уравнение пря-

x x0

=

M0 (x0 , y0 ) ,

 

y

 

 

 

мой, проходящей

x

x

M1(x1, y1) – точки

y1

 

M1

 

1

 

0

M0

 

 

через две точки

=

y y0

на прямой.

 

y0

 

 

 

y1

y0

 

O

x0

x1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Уравнение пря-

x

+

y

=1

a, b – отрезки, от-

y

 

 

 

мой в отрезках.

a

b

секаемые на осях

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат.

 

O

a

 

x

 

ТАБЛИЦА 3.1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРАВЛЕНИЯ ПРЯМОЙ l

 

 

 

 

 

 

И ПРЯМЫХ l1 || l , l2 l

 

 

 

 

 

 

Определение,

Нормальный

Направляющий

 

Угловой

 

 

формула

 

вектор

вектор

 

 

коэффициент

1.

Обозначение.

N = (A, B)

S = (m,n)

 

k

 

 

2.

Изображение,

 

N

 

 

S

 

y

 

 

l

определение.

 

 

l

l

O

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

N

– вектор, пер- S – вектор,

парал- k = tg ϕ,

 

 

 

пендикулярный

лельный прямой l.

ϕ

– угол

наклона

 

прямой l.

 

 

 

прямой l к оси Ox.

3.

Формулы связи.

k = −A / B,

k = n / m,

 

S = (1,k),

 

 

 

S = (B,A)

N = (n,m)

 

N = (k,1)

 

4.

Направление

 

N1 = N

S1 = S

 

 

k1 = k

 

прямой l1 (l1 || l ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Направление

 

N2 = S

S2 = N

 

 

k2 = − 1

 

прямой l2 (l2 l ).

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

ТАБЛИЦА 3.1.3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ В ПЛОСКОСТИ

 

 

 

 

 

 

Задача

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Проверить принадлежность

точки

Точка M лежит на прямой, если

 

 

 

 

M (x1, y1) прямой Ax + By + C = 0.

 

Ax1 + By1 + C = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти

 

 

расстояние

d

от

точки

d =

 

Ax1 + By1 + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x1, y1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x1, y1)

до прямой Ax + By + C = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти угол ϕ между прямыми

 

а)

cosϕ =

 

 

 

N1 N2

=

 

 

 

 

A1 A2 + B1B2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) A1x + B1 y + C1 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

2

2

 

 

A2 x + B2 y + C2

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

б) tg ϕ =

k2 k1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y = k x + b , y = k

 

x + b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + k2k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x x1

=

 

y y1

,

x x2

=

y y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m + n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

cosϕ =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

=

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

2

 

.

 

m1

 

n1

 

 

m2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1

 

S2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

+ n2

m2

+ n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Проверить параллельность прямых.

а)

N

|| N

 

 

 

A1

= B1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) k = k

2

; в) S || S

2

 

m1

=

n1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Проверить

перпендикулярность

а)

N N

2

A A + B B = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

прямых.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

k1 k2 = −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) S1 S2 m1m2 + n1n2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Найти точку пересечения прямых

Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1x + B1 y + C1 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1x + B1 y + C1 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x + B y + C

2

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x

+ B y

+ C

2

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТАБЛИЦА 3.1.4. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие

 

 

 

 

 

 

Изображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение, формула

 

 

 

1. Общее

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax + By + Cz + D = 0 ,

 

 

 

плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где N = (A, B,C)

– нормальный век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тор плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие

 

 

Изображение

 

 

Уравнение, формула

2. Уравнение плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x x0 ) + B( y y0 ) + C(z z0 ) = 0 ,

с

нормальным

векто-

 

 

 

 

 

 

 

 

N

где N = (A, B,C)

– нормальный век-

 

 

 

 

 

 

 

 

ром.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

тор, M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка на плос-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Частные случаи:

 

 

z

 

 

 

 

yOz

а) N = k = (0,0,1) z = 0;

 

 

а) плоскость xOy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) плоскость xOz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) N = j = (0,1,0) y = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

i

 

 

 

y

в) N = i = (1,0,0) x = 0.

 

 

в) плоскость yOz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Уравнение плоскости

 

 

z c

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

y

+

 

z

 

=1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в отрезках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a, b, c – величины отрезков, от-

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b y

 

секаемых на осях координат (с уче-

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

том знака).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Угол между плоско-

 

 

 

 

 

 

 

 

N2

 

 

cosφ =

 

 

 

N1 N2

 

 

=

 

 

стями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

N1 | | N2 |

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x + B y + C z + D = 0,

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

=

 

A1 A2 + B1B2 + C1C2

 

.

1

1

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

+ B2 + C2

A2 + B2

 

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Условие

параллель-

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ности плоскостей

 

 

 

 

 

 

 

N2

 

 

 

 

 

N1 ||

N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x + B y + C z + D = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

=

B1

=

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

B2

 

C2

 

 

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Условие

перпендику-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лярности плоскостей

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1 N2

 

 

A1x + B1 y + C1z + D1

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

ТАБЛИЦА 3.1.5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

 

Понятия

 

Изображения

 

 

 

 

 

Уравнение (формула)

1. Общие

 

уравнения

z

 

 

 

 

A x + B y + C z + D = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

1

прямой.

 

 

 

 

S

N1

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

 

 

 

 

N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальные

 

 

 

 

 

N = (A , B ,C )

 

 

 

 

O

 

 

 

векторы

 

 

 

x

 

y

N

 

1

 

 

1

1

1

)

 

 

 

 

 

 

2

= (A , B ,C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

плоскостей.

2. Канонические

z

S

 

 

 

 

 

 

x x0

= y y0

= z z0 ,

уравнения прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n

p

 

 

 

 

M0 (x0 , y0 , z0 )

где

S = (m,n, p)

 

направляющий

 

 

 

x

O

 

y вектор, M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка на

 

 

 

 

 

 

 

прямой.

 

 

 

 

 

 

 

3. Частные случаи:

z

 

 

а)

 

S = i = (1,0,0) z = 0, y = 0

а) ось Ox;

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ось Oy;

 

 

j

 

б) S = j = (0,1,0) x = 0, z = 0

 

 

 

 

в) ось Oz.

 

 

O

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

i

в)

 

S = k = (0,0,1) x = 0, y = 0

4. Угол

между

пря-

z

S2

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1 S2

мыми.

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

cosϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1

S2

 

 

 

x

S1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Условие

 

парал-

z

S2

 

S1 = (m1,n1, p1) , S2 = (m2 ,n2 , p2 )

лельности прямых.

O

 

 

S

 

|| S

 

m1

= n1 = p1

 

 

 

x

S1

y

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m2

 

 

n2

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Условие

перпенди-

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кулярности прямых

O

S2

S1

S1

S2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34