5.3.Исследование функций двух переменных

Точка

P1 (x1, y1 ) называется точкой мак-

z

z

max

= f (x, y)

симума функции z = f (x, y), если выполняется

z

неравенство

f (P1 ) > f (P)

для любой

точки

P(x, y)

из

некоторой

окрестности

точки

y

P1 (x1, y1 ) (Рис. 5.3.1).

0

P (x , y )

x

1

1

1

РИС. 5.3.1

Точка

P2 (x2 , y2 ) называется точкой ми-

z

нимума функции z = f (x, y), если выполняет-

z = f (x, y)

ся неравенство f (P2 )< f (P) для любой точки

zmin

P(x, y)

из

некоторой

окрестности

точки

y

0

P2 (x2 , y2 ) (Рис. 5.3.2).

P (x , y )

x

2

2

2

РИС. 5.3.2

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функ-

ции. Значения z(x1, y1 )= z (P1 )= zmax , z(x2 , y2 ) = z (P2 ) = zmin

называются соот-

ные функции в этой точке равны нулю

∂z (P )= 0,

∂z

(P )= 0 .

∂x

0

∂y

0

5.3.1.2. Достаточные условия экстремума

Рассмотрим функцию

z = f (x, y)

и пусть точка P0 (x0 , y0 )

является кри-

тической точкой функции, то есть

∂z (P )= 0 ,

∂z (P )= 0 .

∂x

0

∂y

0

Предположим, что существуют все вторые частные производные

∂2 z ,

∂2 z ,

∂2 z

в точке

P

(x , y ).

∂x2 ∂y2

∂x ∂y

0

0

0

Составим из вторых производных выражение

∂

2 z

∂2 z

∂2 z

2

=

2

2

−

.

∂

∂

∂x ∂y

x

y

Чтобы ответить на вопрос,

будет ли критическая точка P0 (x0 , y0 ) точкой

экстремума, необходимо исследовать знак

(P0 ).

Теорема (достаточное условие экстремума)

Пусть P0 (x0 , y0 ) – критическая точка функции z = f (x, y). Тогда:

1) если

(P )> 0 , то P – точка экстремума, причем, если

∂2 z

(P )> 0, то

0

0

∂x2

0

P – точка минимума, если

∂2 z

(P )< 0 , то P – точка максимума;

0

∂x2

0

0

2) если

(P0 )< 0 , то P0 – не является точкой экстремума;

3) если

(P0 )= 0 , то имеем неопределенный случай.