2. Простейшие дроби второго типа:
Mx + N |
, |
r ≥1 – целое, p2 − 4q < 0 . |
|
(x2 + px + q)r |
|||
|
|
Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей
1. Множителю знаменателя вида (x − x0 ) соответствует одна простейшая
дробь первого типа |
|
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Множителю знаменателя вида (x − x |
)k |
соответствует k простейших |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
|
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дробей первого типа: |
|
|
, |
|
, …, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x − x0 |
(x − x )2 |
(x − x |
)k |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. Множителю знаменателя вида x2 + px + q , где |
p2 − 4q < 0 , соответст- |
|||||||||||||||||||
вует одна простейшая дробь второго типа |
|
Mx + N |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + px + q |
|
|
|
|
|
||||||
|
4. Множителю знаменателя вида (x2 + px + q)r , где |
p2 − 4q < 0 соответ- |
|||||||||||||||||||
ствует r простейших дробей второго типа: |
|
M1x + N1 |
|
, |
|
M2 x + N2 |
, …, |
||||||||||||||
|
|
|
(x2 + px + q)2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
|
||||||
|
Mr x + Nr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + px + q)r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь числа A, |
A1, A2 ,..., M , N, M1, N1, ... |
|
– неопределенные коэффициен- |
|||||||||||||||||
ты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.1.1.6.Интегрирование простейших рациональных дробей
1.Простейшие дроби первого типа
k =1: ∫ |
Adx |
= A = Aln |
|
x − x0 |
|
+ C ; |
||||||||
|
|
|||||||||||||
x − x |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
A(x − x |
)−k+1 |
|
|||||
|
|
|
Adx |
|
|
|
|
|||||||
k ≠1: ∫ |
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
+ C . |
||||
(x |
− x0 ) |
k |
−k + |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
85
2. Простейшие дроби второго типа
∫ |
Mx + N |
M |
ln (x2 + a2 )+ |
N |
|
x |
|
x2 + a2 dx == |
2 |
|
arctg |
|
+ C |
||
a |
a |
.
6.1.1.7. Интегрирование рациональных дробей
Вычисление интеграла от рациональной дроби
Q(x)
∫Pnm(x)dx , где
Qm (x), Pn (x) – многочлены с действительными коэффициентами, будем про-
водить по следующей схеме:
1) определить, является дробь Qm((x)) правильной (m < n) или неправиль-
Pn x
ной (m ≥ n), у неправильной дроби выделить целую часть
Qm (x) |
= S |
|
(x)+ |
Rk (x) |
, где k < n ; |
|||
P |
(x) |
m−n |
P |
(x) |
||||
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2)разложить многочлен Pn (x) на действительные множители;
3)разложить правильную дробь в сумму простейших дробей;
4)подставить полученное разложение под знак интеграла и вычислить интегралы, пользуясь табличными интегралами и способами интегрирования простейших дробей.
6.1.1.8.Метод замены переменной (метод подстановки)
Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ f (x)dx . Вместо переменной x
под знак интеграла можно ввести новую вспомогательную переменную t , свя-
занную с x некоторой зависимостью |
x = ϕ(t ). Тогда dx = ϕ′(t )dt , |
а интеграл |
|||
преобразуется к виду |
|
∫ |
|
|
|
∫ |
f (x)dx = |
|
|||
|
|
f ϕ(t ) ϕ′(t )dt . |
(14) |
||
Формула (14) называется формулой замены переменной. Смысл этой формулы состоит в том, что интеграл в правой части либо является табличным,
либо приводится к табличному легче, чем исходный. Для этого необходимо вы86