Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЗаданияСР_Математ_036401.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

разложение функции cos x

cos x =1 −

−... + (−1)n

x2n

+..., (−∞, ∞);

2n)!

(

разложение функции (1 + x)m – биномиальный ряд

(1 + x)m =1 + m x +

m(m −1)

+... +

m(m −1)...(m − n +1)

+..., (−1, 1);

разложение функции ln (1 + x)

ln (1

+ x)= x −

−... + (−1)n

xn+1

+..., (−1, 1].

n +1

Если m – целое положительное число, то биномиальный ряд превращается в конечную сумму, называемую биномом Ньютона, который можно записать в виде

(a + b)m = am + Cm1 am−1b + Cm2 am−2b2 +... + bm .

Здесь числа Cm1 , Cm2 ,..., называемые биномиальными коэффициентами,

являются сочетаниями и вычисляются по формуле

Ck	=	m!	.
		k!(m − k )!
m

Приведенные разложения можно использовать для разложения более сложных функций в ряд по степеням x .

8.1.2. Контрольные вопросы

Какой ряд называется функциональным? Что называется точкой сходимости, областью сходимости ряда?

Что представляет собой сумма функционального ряда? Какой ряд называется степенным?

Сформулируйте теорему Абеля и объясните ее геометрический смысл. Какой вид имеет область сходимости степенного ряда?

Приведите схему нахождения области сходимости степенного ряда. Какая функция называется аналитической в точке x0 ?

Как записывается ряд Тейлора аналитической функции f (x) в окрестности точки x0 ?

Какой вид имеет ряд Маклорена функции f (x) по степеням x ?

109

Запишите разложения в ряд по степеням x функций ex , sin x , cos x ,

(1 + x)m , ln (1 + x).

8.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы

Задание содержит 4 задачи. Каждая задача имеется в 35 вариантах. Номер задачи состоит из двух чисел: первое число – порядковый номер задачи, второе число – номер варианта.

Студент решает ту задачу, номер варианта которой совпадает с его номером по списку в журнале, подставляя значение параметра k =1, 2, 3, ... – сумма последних двух цифр номера группы.

Задача 1.

Исследовать на сходимость числовые ряды:

∞

n +1

1. а) ∑

;

n=1 n

+ 3n +

∞

2. а) ∑

;

n=1

(k +1)n n!

∞

3. а) ∑(−1)n (k2+1)

;

n=1

∞

kn (2n +1)

4. а) ∑

;

(n + k )!

n=1

∞

(

−1)

5. а) ∑

;

n=1 n

+ kn + k

∞

n2 (n2 + k2 )

6. а) ∑

;

n=1

Варианты

∑∞ (−1)n nk

б) ; n=1 nk+1 + 3

∞

(−1)

б) ∑

;

n=1 kn + 2k

∞

− k

б) ∑

;

n=1 n

+ 3n −1

б)

∞

kn + 7

∑n=1

;

(2n + k )(3n + k )

∞

(n +1)!

б) ∑

;

2n+k (n + 2k )

n=1

б)

∑∞ (n3 + kn + k +1)

;

n=1

(n +1)!

в)

∞

∑

(k +1)

(n3 +1)

n=1

∞

(n +1)

∑n=1

(n + k )(3n + k )

∞

kn2 +1

∑n=1

n!(n + k )

∞

n + 2k

∑(−1)n

n(kn +1)

n=1

∞

kn −1

∑(−1)n

n2 + 2n +

3k2

n=1

∞

(−1)

∑n=1

(k +1)n + (k + 2)

110

(n + k )2

∞	k	n
7. а) ∑	k		;
7. а) ∑	2k (n2 +1)		;
n=1	2k (n2 +1)
∞	3n − 2k
8. а) ∑	3n − 2k			;
8. а) ∑	(n + k )(n2		+1)	;
n=1	(n + k )(n2		+1)

∞

9. а) ∑ ;

n=1 (2 + k )n (n +1)!

∞

(−1)

10. а) ∑

;

n=1 n(n2 + k2 )

11.

а)

n+1

∞

(2k −1)

(n + k )

∑

;

n=1

∞

n + k

12.

а) ∑

;

n=1 n2 (n2 + 4k2 )

∞

n + 2k

13.

а) ∑

;

2n+k

(n2 +1)

n=1

∞

2n + k

14.

а) ∑

;

(kn +1)(n + k )

n=1

15.

∞

(n + k ) 2n+k

;

а) ∑

(n +1)!

n=1

16.

а)

∞

(n +1)

n + k

∑

;

(2n + k )(n2 + k 2 )

n=1

б)

∞

∑(−1)n

;

+ n

n=1

∞

2n (n + k )!

∑n=1

;

(n +1)!

∞

3n + k

∑n=1

;

n(n + k )

∞

3n(n +1)

∑n=1

;

(n + k )!

∞

3n + 5k

;

∑(−1)n

n=1

2n + 3k

∞

+ k

;

∑(−1)n

n=1

n3 + k2

∞

n + k

∑(−1)n

;

n!(n + k )

n=1

∞

∑

;

n=1 n

+ k

∞

kn + k2 +1

∑n=1

;

n(n + k )

∞

n!(n + k )

∑n=1

;

3n (2n +1)

111

∞

−1)n

n + k

в) ∑(

n(n2 + k2 )

n=1

∞

(n + k )

в) ∑(

−1)

(n + k )

n=1

∞

n + 2k

в) ∑(

−1)

n=1

kn +1

в)

∞

2n +1

∑(−1)n

(n + k )(n +

2k )

n=1

в)

∞ (−1)n (n + k )(n + 2k )

∑

+ k

n=1

∞

−1)n+1

(n + k )

в) ∑(

3n .

n=1

k (n +1)!

в)

∞

2n + 5

∑(−1)n

(n + k )(n +

2k )

n=1

∞

(n + k )

в) ∑(

−1)

n=1

∞

−1)n−1

n(n + 2)

в) ∑(

n=1

(n + k )

∞

n (−1)

в) ∑

n + 2k )

n=1 (

n2 + k

17. а)

∞

(kn + 2)(2n + k ) ;

∑

n=1

(1 + k )n (n + 2)!

∞

n + k

18.

а) ∑

;

+ k

n=1 n

∞

+ k

19.

а) ∑

;

(n + k )(n +

3k )

n=1

∞

(k +

20.

а) ∑

;

n=1

(n2 + k2 )n!

∞

21.

а) ∑

;

n=1 n2 (n + k )2

∞

22.

а) ∑

;

n=1 n

∞

(−1)

(n + 6k)

23.

а) ∑

;

(n + k )(n + 2k )

n=1

∞

n+1

24.

а) ∑(−1)n

;

n=1

∞

n + k

25.

а) ∑

;

n=1 k

+ 2kn +

26.

∞

(n + k )

2n ;

а) ∑

n=1

(n +1)!

б)

(−1)n (n2 + 2nk)

∞

∑

+ n + 3k

;

n=1

б)

∞

(2 + k )

;

∑

n=1

(n +1)!

б)

∞

(n + k )!nk

;

∑

n=1

∞

(−1)n (2n + k)

б)

∑

;

+ 2k

n=1

∞

5n (n + k )2

б)

∑

;

(n + 2)!

n=1

∞

k + 2n

б) ∑(−1)n

;

6n2 + k

n=1

б) ∑∞

2n(nk +1)

;

n=1

(k +1)n

∞

(n + k )!

б)

∑

;

(n +1)!

n=1

∞

;

б) ∑(−1)n−1 2n + k

n=1

kn + 3

∞

б) ∑

(−1)2

(kn + 2)

;

n=1

+ k + 5

112

∞

(−1)n n2 + k

в) ∑

+ 2n + k

n=1

∞

в) ∑(−1)n+1

n=1

+ k

∞

(−1)

n−1

в) ∑

n=1 n

+ 2kn + 3k

в)

∞

∑

(n2

+ k2 )(n2

+ 2k2 )

n=1

в) ∑∞ (−1)n n + k +1 .

n=1

в)

∑∞ (−1)n (n + k )(n + 2k )

n=1 (n2 + k2 )(n2 + 4k2 ) .

∞		4n + k
в) ∑(−1)n			.
	n	2
n=1		+ kn +1

в) ∑(−1)n (n +1)(n + k ) .
∞
n=1		n2 (n2 + k )
∞		n +1
в) ∑		n +1			.
в) ∑	(n + 2)!(n + k )10				.
n=1	(n + 2)!(n + k )10
∞	4n +1
в) ∑	4n +1			.
в) ∑	(n + k )(n +		7)	.
n=1	(n + k )(n +		7)

∞

(n +1)!

27.

а) ∑

;

2n (n3 + k2 )

n=1

28.

а)

∞

(−1)n (n2 + n + k)

∑

+ kn + 2k

;

n=1

∞

(

6n − k )

29.

а) ∑

;

(n + k −1)!

n=1

∞

n(n + k )

30.

а) ∑

;

3 2

n=1

+ k

∞

31.

а) ∑(−1)n

;

(n + k )

n=1

∞

32.

а) ∑

;

n=1 n

∞

(2k )

33.

а) ∑(−1)n

;

n=1

(n + k )!

∞

n+k

34.

а) ∑

;

n=1 n

+ k

∞

2n (n + k )

35.

а) ∑

;

+ k

n=1

∞	4n −1
б) ∑	4n −1	;
б) ∑		;
n=1 n2 (n + k )2
∞	(n − k )2 + k		2
б) ∑	(n + k )! 5n		;
n=1	(n + k )! 5n

б) ∑∞ n2 + kn +1 ;

n=1 n3 + 2n + k2

∞		2	+ k	;
б) ∑(−1)n 7n
n=1	n + 2k

б) ∑∞ k + n ; n=1 6k + n

∑∞ (n +1)!

б) n=1 n(n + k );

б) ∑∞ (−1)n n ;

n=1 n2 + k2

б)

∞

∑		n + k		;
∑	(n2 +1)(kn +1)			;
n=1	(n2 +1)(kn +1)
	∞	2n + k
б) ∑		2n + k	;
б) ∑		(n + k )3	;
	n=1	(n + k )3

Задача 2.

Найти область сходимости степенного ряда

Варианты

N N

113

∞

(n + k )

в) ∑(−1)n

n=1

(n + k )2 +1

∞

kn −1

в) ∑(−1)n

n=1

n2 + k2

∞

в) ∑(−1)n

+ k

n=1

+ k

∞

4n (2n + k )

в) ∑(−1)

(n + k )!

n=1

∞

2n + k

в) ∑(−1)n

n=1

kn2 + n +

∞

(−1)n (n2 + k2 )

в) ∑

+ k )(n + 2k )

n=1 n(n

∞

+ kn

+ 2

в) ∑(−1)n

n=1

2n3 + k2n +1

∞

6n − k

в) ∑(−1)n

2n2 + k

n=1

в) ∑(−1)n

(n +1)

∞

n=1

(k +1)n

∞

(x + k − 3)

∑(−1)n

3n (n2 + k2 )

n=0

∞

(−1)

n+1 (x − k + 4)n

∑

n(n + k )

n=0

∞

(n + 2k )(x − 3)n

∑

(n + k )(k +1)

n=0

∞ (n + k )2

n∑=0 (2n + k )(x − k )

∑(−1)n n(n + 2k )(x − k )2n+1

∞

n=0

(n + k )3

∞

(−1)n+1 (x + 2 − k )

+ k )

∑

n=0

2n + k

∞

+ k

∑

(x − 5)

n=0 n

+ k

(2k + 5)

∞

(x −1)

∑k

2n + k

n=0

3n + 2

(k +1)n

∞

(x − 3)

∑(−1)n

(n2 + 2kn + 3) (12 − k )

n=0

∞

(kn +1)(x − k )n

∑

(n + k +1)(12 − k )

n=0

∑(−1)n+1

(x − 3 + k )

∞

n=0

3n (2n + k )2

∞

(kn +1)x

n+1

∑

n=0

(k2n2 +1)k n

∞ (x − 3)2n (n + k +1)

n∑=0

9n (1 + kn)(1 + k2n2 )

114

∞

(x + 2)n

n∑=0

kn (n +1)(n + k )

∞

(x +1)n (kn +1)

∑

(n + 2)

n=0

∞

(x +

∑

(−1)n+1

n=0

(kn + 3)

∞

n (x + k +1)n

∑(−1)

(k +1)

(n +1)

n=0

∞

∑

(12 − k )n (kn + 3)(3n + k )

n=0

∞

(x + k − 2)2n

∑

(n2 + kn +1)

n=0

∞

n+1

n3 + kn +1 x − k n

∑

(−1)

n4 + kn2

n=0

∑(−1)

n+k

(x − 2k + 5)

∞

n=0

n3 + k3

∞

(x +1)n

∑

(nk +1)kn

n=0

∞

(x − 2)2n

∑

4n+1 (2n + 3k )

n=0

(x − k )2n

∑(−1)n (n + k )

∞

n=0

(n + 2k )2

∞

(nk +1)(x + k )n+1

∑

+ 2

n=0

∑∞

+1)(x − k )

n=0

(n + k )2n+1

∞

(x + k )2n

∞

(k +1)n + k

(x − k )n

∑

(−1)

∑

(n3 + k2n + k3 )9n

+ kn + (k +1)

(k +1)

n=0

n=0 n

∞

n+1

nk + k

2n+1

∞

(k +1)(x + k )n+1

∑(−1)

∑

k+1

k +1

n=0

(

n=0

(2n +1) k

)

∞

(n + k )(n + 2k )

∞

(x + 2k )

(kn + 2)

∑

(−1)n

(x −

1)n+3

∑

n=0

n + 3k

n=0

(k + 2)n (2n + k )

∞

(n +1)(n + k )(x −1)n

∞

(x − 2k )n (n + 3)

∑

(n2 + k )2n

n=0

+ k

n=0

∑n 3

(x − k )2n+1

∞

n=0

+ k

x0 :

Задача 3.

Найти три члена разложения в ряд функции y = f (x) в окрестности точки

Варианты

f (x)=	x		+ k	,	x0 =1	1	f (x)= 3x2 − xsin (k + x),
f (x)=	x	2	+ k	,	x0 =1	9	x0 = −k
	x		+ k				x0 = −k
f (x)= xek−x , x = k						2	f (x)= ln (4 − k + 2x), x0 = k
					0	0
f (x)= x2 + xsin (k − x), x0 = k						0	f (x)= 4x3ex+k , x0 = −k
f (x)= x2 + xsin (k − x), x0 = k						2	f (x)= 4x3ex+k , x0 = −k
						1

f (x)= x13−+xk , x0 = 2 f (x) = x3 + xln (k − x),

x0 = k −1

f (x)=1 − 2x3 + x2 cos(k − x),

x0 = k	x2
f (x)=	x2	, x = −k
f (x)=		, x = −k
	k + x2	0
	k + x2

f (x)= 2x2 − xek+x , x0 = −k

2	f (x)= 16 − 3k + 3x, x0 = k
2
2	f (x)=		k	, x = k
3	f (x)=	(3	+ x)3	, x = k
3		(3	+ x)3	0
2	f (x)= 3x2 − k sin (k + x),
4	x0 = −k
	x0 = −k
2	f (x)= x2 − xek−x , x0 = k
5
2	f (x)= xln (6 − k + x), x0 = k
6

115

f (x)=	1 + x				,			x = k +1	2
f (x)=	(k − x)2				,			x = k +1	7
	(k − x)2							0	7
f (x)= (3 + e		k−x			)	2		, x0 = k	2
f (x)= (3 + e					)			, x0 = k	8
f (x)= xln (2x − k ), x0 = k									2
									9
f (x)= 2xcos(k + x)− 7x2 ,									3
x0 = −k									0
x0 = −k	x2								3
f (x)=	x2			, x = −k +1					3
f (x)=				, x = −k +1					1
	x + k							0	1
	x + k								3
f (x)= x2 + 2k2 −1, x =1									3
								0	2
									2
f (x)=	1						, x0 = k		3
									3
	3 − x − x				2				3
	3 − x − x
f (x)= (1 + x)sin (k + x)+ x2 ,									3
x0 = −k									4
x0 = −k	x2 + k								3
f (x)=	x2 + k		,		x =1				3
f (x)=	x3 + k		,		x =1				5
	x3 + k					0			5
						0

f (x)= x2ek−x , x0 = k

Задача 4.

f (x)= x2 x++x3− k , x0 = k f (x)= (2 + ln (k + x))2 ,

x0 = −k +1

f (x)= 3x2 − (k − x)cos(k − x), x0 = k

f (x)= x2 − x + ek2 −x2 , x = k
		0
f (x)=	x − 2k	, x =1

	x2 + k	0

f (x) = k + x2 − xek+x , x0 = −k f (x)= (x + k )cos(x − k )+ 2,

x0 = k

f (x)= (x + k ) x − k , x0 = 4 + k

f (x)= k + x2 + (x2 −1)sin kx, x0 = 0

Используя известные разложения, функции

степенные ряды и найти их область сходимости:

Варианты

N				f1 (x)
1	1		sin (kx2 )
		kx

2			xe−kx2
3	1			sin	(	kx3	)
	kx2

f1 (x) и f2 (x) разложить в

		f2 (x)
					x
ln 1 −
ln 1 −				k +1
				k +1
kxcos					x2


			k +1
1						x
	ln	1	+
x	ln	1	+		k
x					k	+1

116

1 − ekx2

x12 sin (2k − 5)x2

	x			cos(kx)
	7 + k			cos(kx)
	7 + k
	x		e−(12−k )x2
k +		1

x3 ln 1 + 5 −x2k

x	x2
	cos
k		k

kx sin (kx2 ) xk2 sin (kx3 ) kx − sin (kx)

1 − cos x2k

−1 + ekx2 x2

kx1 sin (kx3 )

1 − cos(kx2 )

k2 x kx e−kx3

xk ln (1 + kx2 )

2 − 2cos(kx2 )

117

cos

k +1

−kx

xln

−

(k +1)

(2k +1)sin

2k +1

ekx

k +1

ln (1 − kx)

−

xln 1 +

xe−kx3

2k + 3

2k − 5

cos

−

kx ln (1 + (k +1)x)

1	x2
	sin
x2		k

	1 − e− kx2
	k2 x
1		−	x
	ln 1
x	ln 1		k +1
x			k +1

x1+k

1kx3 x2 sin k +1

x cos x2 − x k k k

xkk sin (x2k )

	x	sin (kx4 )
	4 + k	sin (kx4 )
	4 + k

2e− kx3 − 2 kx

cos(kx3 )−1

−	k	x2

1 − e	k+1

ln (1 + kx3 )

k2 x

kx2

e 2 −1 2k

k x+1ln (1 − kx3 ) kx sin (k +1)x3

−kx3 + xln (1 + kx2 )

ekx2 −1

kxsin x3k 2

kxcos (k +1)x2 k

118

k− x3

xe k

x2 ln 1 + x3

k3 e(k+1)x4 −1

12 + 2k				kx2
	ln 1	+
	ln 1	+
x			12 + 2k

1 + k sin (x1+k )

e−kx2 kx2

k			x
	ln 1	−
x	ln 1	−	k2
x			k2

kx23 sin (kx2 )

xk	x3
	cos
k		k

xk sin (2xk )

x12−k (1 − e−kx2 )

1 − cos(kx2 )

sin x2k

(k +1)x

ln (1 + k2 x2 )

kx2

k x+1(1 − e− kx )

		x	4		+ k	2	x
35	k +1sin			1 ln 1		2
		k +1
	x			x

119

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.02.201635.49 Кб12Задания для орг. СРС.docx
#
01.09.2019143.87 Кб7Задания для самостоятельной работы студентов фи...doc
#
10.11.2018106.5 Кб4Задания для самостоятельной работы студентов.doc
#
23.11.2019301.57 Кб12Задания для СРС.doc
#
26.02.2016188.93 Кб22Задания СРС Э Сер Тов Тех 2012.DOC
#
26.02.20161.31 Mб39ЗаданияСР_Математ_036401.pdf
#
19.11.201929.33 Кб9задача учет и анализ.docx
#
26.02.201684.99 Кб75Задачи для заочников 2011.doc
#
25.11.201983.97 Кб8задачи из ФЭПО свои.doc
#
01.09.2019431.62 Кб24Ивашкевич_БУУ АСТ.doc
#
26.02.2016192.51 Кб52ИВФ - История - Лекция № 5 - Великие реформы..doc