Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЗаданияСР_Математ_036401.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.31 Mб
Скачать

13)Как найти объем параллелепипеда и пирамиды по их вершинам?

14)Какие векторы называются компланарными?

15)Каково условие компланарности векторов?

2.3.Комплексные числа

2.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения

 

2.3.1.1. Определения

 

Комплексным числом называется выражение z = x + iy , где x,

y – дей-

ствительные числа, а i – новое число, обладающее свойством

 

i2 = −1

(9)

и называемое мнимой единицей. Число x называется действительной ча-

стью, y мнимой частью комплексного числа z . Они обозначаются x = Re z , y = Im z . Множество комплексных чисел обозначается буквой .

Выражение z = x + iy называется алгебраической формой записи ком-

плексного числа. В дальнейшем мы познакомимся и с другими формами записи.

Числа z = x + iy и z = x iy называются комплексно-сопряженными.

Комплексные числа изображают-

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ся точками или векторами на плоско-

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x, y)

сти (Рис. 2.3.1). В декартовой системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат

каждому

комплексному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

числу z = x + iy

ставится в соответствие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

точка M (x, y)

или

радиус-вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

OM = (x, y) с теми же координатами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 2.3.1

 

 

Ось Ox называют действительной осью, а ось Oy мнимой осью.

 

 

Модуль

r вектора OM называется модулем комплексного числа

z и

обозначается | z |. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

= r = x2 + y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полярный угол ϕ точки M или аргумент вектора OM называются аргу-

ментом комплексного числа z и обозначается arg z .

arg z = ϕ = arctg

y

0,

x 0,

(11)

+

 

x

x < 0.

 

π,

 

2.3.1.2. Правила арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме

Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме проводятся по обычным правилам действий над двучленами с учетом равенства i2 = −1.

1) Сложение.

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) . 2) Вычитание.

z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2 ) = (x1 x2 ) + i( y1 y2 ).

3) Умножение.

z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2 ) = x1x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2 = = (x1x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1) .

Здесь использовалось равенство (9).

Замечание (свойство произведения комплексно-сопряженных чисел).

 

 

 

 

z z = (x + iy)(x iy) = x2 (iy)2 = x2 + y2 .

 

 

(12)

4) Деление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

x + iy

 

(x + iy )(x iy

2

)

 

 

 

x x ix y

2

+ ix y i2 y y

2

 

 

1

=

1

1

=

1

1 2

 

 

=

 

1 2

1

2 1

1

 

=

 

z2

 

x2 + iy2

 

(x2 + iy2 )(x2 iy2 )

 

 

 

x22 + y22

 

 

 

 

 

 

=

(x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 x1 y2 )

 

=

x1x2 + y1 y2

 

+ i

x2 y1 x1 y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

 

 

 

 

 

x2

+ y2

 

 

 

x2

+ y2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

2

 

 

2

2

 

 

 

Здесь мы воспользовались свойством произведения комплексносопряженных чисел (12).

26

2.3.1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть r – модуль, ϕ – аргумент комплексного числа z = x + iy . Тогда, пе-

реходя к полярной системе координат (r,ϕ), получим x = r cosϕ, y = r sin ϕ.

Следовательно, комплексное число тогда можно переписать в виде

z = r(cosϕ + isin ϕ) .

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометриче-

ской формой.

2.3.1.4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Формула Эйлера

eit = cost + isin t .

Показательная форма комплексного числа

z= r(cosϕ + isin ϕ) = reiϕ.

2.3.1.5.Действия над комплексными числами в показательной форме

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять в алгебраической форме; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – в показательной формах.

Пусть

z1 = r1eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2 , z = reiϕ .

1) Умножение

 

z z

2

= r eiϕ1 r eiϕ2

= r r eiϕ1 eiϕ2

= r r ei(ϕ12 ) .

 

1

1

 

2

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

2)

Деление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

r eiϕ1

 

r eiϕ1

 

r

 

i(ϕ −ϕ

)

 

 

 

 

 

1

 

=

1

 

=

1

 

 

=

1

e

1 2

 

.

 

 

 

z2

r eiϕ2

r2 eiϕ2

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Возведение в степень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn = (reiϕ )n = rn (eiϕ )n = rneinϕ

формула Муавра, где n .

27