Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЗаданияСР_Математ_036401.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.31 Mб
Скачать

M < 0.1. В этом случае каждое приближение содержит по крайней мере на один верный знак больше, чем предыдущее.

9.1.2. Контрольные вопросы

Что понимается под приближенным решением уравнения? Что такое погрешность?

Вчем состоит процедура отделения корня?

Вчем состоит суть метода деления отрезка пополам?

Какова процедура отыскания корня уравнения методом хорд, каков критерий выбора начального приближения?

В чем состоит суть метода итераций, каково достаточное условие применимости данного метода?

9.2. Примеры численного интегрирования

9.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

Рассмотрим непрерывную на [a,b] функцию f (x) . Пусть требуется найти

b

f (x)dx . Формула Ньютона-Лейбница позволяет свести эту задачу к задаче на-

a

хождения первообразной для функции f (x) . С помощью этой формулы можно

вычислить интегралы от элементарных функций, у которых первообразные также являются элементарными функциями.

Однако существует много функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, не всегда подынтегральная функция задается с помощью формулы, иногда она задается графиком или таблицей. В этих случаях формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Поэтому важно знать общие универсальные методы вычисления определенных интегралов. Это приближенные методы, которые позволяют вычислить интеграл по значению подынтегральной функции во множестве точек отрезка [a,b] . Соответствующие формулы называются формулами численного интег-

рирования. Они основываются на определении определенного интеграла, как предела интегральных сумм

126

b

 

 

 

n

f (x)dx = lim

0

f (ξk ) xk .

a

max

xk

k=1

 

 

 

9.2.1.1. Формулы прямоугольников

b

Пусть требуется найти f (x)dx . Построим интегральную сумму следую-

a

щим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками

x0 = a ,

x1 ,

x2 , ...,

x

= b причем, x

x

= x

x =…= x

x

 

= h , т.е. h =

b a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

0

 

2

1

 

n

 

n1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем точки ξk [xk1, xk ],

k =

 

,

 

так, чтобы ξk

= xk1 . Если ввести

 

1,n

 

обозначения y0 = f (x0 ) , y1 = f (x1) , ...,

yn = f (xn ) , то интегральная сумма будет

иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y h + y h + ... + y

n1

h = h( y

+ y

+ ... + y

n1

) = b a ( y

0

+ y + ... + y

n1

) .

 

0

1

 

 

0

1

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При достаточно мелком разбиении отрезка [a,b] (т.е. достаточно малом

шаге h) интегральную сумму можно считать приближенным значением интеграла. Таким образом, получаем формулу

b

 

 

 

f (x)dx b a

( y0 + y1 +…+ yn1) ,

(36)

a

n

 

 

 

 

 

которая называется формулой прямоугольников или (что более точно) формулой левых прямоугольников.

Название этой формулы связано с ее геометрической интерпретацией

b

(рис. 9.2.1). Интеграл f (x)dx – это площадь криволинейной трапеции, а при-

a

ближенное значение интеграла – это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

127

y

y = f (x)

 

 

 

y0 y1 y2

 

h

h h

 

0 x0=a x1 x2

xn=b x

 

РИС. 9.2.1

 

То есть площадь криволинейной трапеции приблизительно равна площади ступенчатой фигуры.

В данном случае ступенчатая фигура состоит из прямоугольников с основание h и высотой, равной значению подынтегральной функции в левом конце отрезка [xk1, xk ].

Если при построении интегральной суммы точку ξk [xk1, xk ], k =1,n ,

выбрать так, чтобы ξk = xk , то аналогично получим еще один вид формулы

прямоугольников (формула правых прямоугольников)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx b a

( y1 + y2 +…+ yn ) .

(37)

a

 

n

 

 

 

 

 

 

Погрешность формул (36) и (37) можно оценить по формуле

 

Rn

h

(b a) max

 

 

.

(38)

 

 

2

 

f (x)

 

 

 

x [a,b]

 

 

 

 

 

9.2.1.2. Формула трапеций

y

 

y = f (x)

 

y1 y2

 

y0

 

0 x0=a x1 x2

b x

РИС. 9.2.2

 

128

Более точную приближенную формулу для вычисления интеграла можно получить, если заменить график функции f (x) ломаной линией, состоящей из отрезков прямых, проходящих через точки (xk , f (xk )).

В результате получим, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей трапеций высоты h и с основаниями, равными yk1 и yk (рис. 9.2.2):

b

y0

+ y1

 

 

y1 + y2

 

 

yn1 + yn

 

 

f (x)dx

h +

h + +

h

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

a

y

 

 

 

 

 

 

y

n

 

 

f (x)dx

 

n

 

 

0

+ y1 + y2

+…+ yn1

+

 

.

(39)

 

 

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Эта формула называется формулой трапеций. Погрешность формулы (39) можно оценить по формуле

 

 

Rn

h2

(b a) max

 

′′

 

.

 

(40)

 

 

 

 

 

 

12

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

x [a,b]

 

 

 

 

 

 

Следует отметить, формулу трапеций можно также получить, если взять

среднее арифметическое правых частей формул (36), (37)

 

b

 

 

( y0

+ y1 +…+ yn1) + ( y1 + y2 +…+ yn )

 

 

f (x)dx b a

 

.

 

 

 

 

a

n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.2.1.3. Формула Симпсона

Еще более точное значение определенного интеграла можно получить с помощью формулы Симпсона.

При ее построении отрезок интегрирования [a,b] разбивается на четное

число 2n равных частей длины h = b2na . На каждом k -ом сдвоенном отрезке

[x2(k1) , x2k ] график функции приближенно заменяется отрезком параболы, про-

ходящей через точки (x2(k1) , f (x2(k1) )), (x2k1, f (x2k1)), (x2k , f (x2k )).

Можно показать, что уравнение этой параболы будет иметь вид: 129

P(x)

где t = x x2(k1) ,

h

y2k1 = y2k y2k1 .

x2k

Тогда f (x)dx

= y2(k1) + t y2(k1)

+

t(t 1)

2

y2(k1)

,

2

 

 

 

 

 

 

2 y2(k1) = yk yk1 ,

 

y2(k1) = y2k1 y2(k1) ,

x2k

P(x)dx .

x2(k 1) x2(k 1)

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

x = th + x

 

,

dx = hdt,

x = x

 

 

t = 0,

 

x = x

 

 

t =

x2k

x2(k1)

=

2h

= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(k1)

 

 

 

 

 

 

 

 

2(k1)

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

h

 

Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2k

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2(k1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

y

2(k1)

+ t

y

2(k1)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t(t 1) hdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2(k 1)

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

2 y2(k 1)

t3

 

 

 

t2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h y

2(k1)

t

+ y

2(k1) 2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2(k1) + 2 y2(k1)

 

+

1

2

y2(k1)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h 2 y2(k1) + 2( y2k1

y2(k1) ) +

1 (

 

y2k1

 

y2(k1) )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

( y2(k1) + 4 y2k1 + y2k ) .

= h 2 y2k1

3

( y2k y2k1) ( y2k1 y2(k1) )

=

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, находим:

 

 

b

 

 

 

x2

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx =

f (x)dx + f (x)dx +…+

 

f (x)dx

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x0

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2(n1)

 

 

 

 

 

 

 

h

(y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 +…+ 2 y2(n1) + 4 y2n1 + y2n ).

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в формулу значение h , окончательно получим:

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 y2(n1) + 4 y2n1 + y2n ). (41)

f (x)dx b a (y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 +

 

 

a

 

 

 

6n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (41) называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Погрешность формулы (41) можно оценить по формуле

130