- •МАТЕМАТИКА
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Линейная алгебра
- •1.1. Вычисление определителей
- •1.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.1.1.1. Определения
- •1.1.1.2. Свойства определителей
- •1.1.2. Контрольные вопросы
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.2.1.1. Действия над матрицами
- •1.2.1.2. Обратная матрица
- •1.2.1.3. Ранг матрицы
- •1.2.2. Контрольные вопросы
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.3.1.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3.1.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •1.3.1.3. Метод Гаусса
- •1.3.1.5. Теорема Кронекера–Капели
- •1.3.2. Контрольные вопросы
- •1.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы. Линейные операции над векторами
- •2.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.1.1.1. Определения
- •2.1.1.2. Линейные операции над векторами
- •2.1.1.3. Координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах
- •2.1.1.4. Линейные операции над векторами в координатах
- •2.1.1.5. Деление отрезка в данном отношении
- •2.1.2. Контрольные вопросы
- •2.2. Произведения векторов
- •2.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.2.1.1. Скалярное произведение векторов
- •2.2.1.2. Векторное произведение векторов
- •2.2.1.3. Смешанное произведение векторов
- •2.2.2. Контрольные вопросы
- •2.3. Комплексные числа
- •2.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.3.1.1. Определения
- •2.3.1.2. Правила арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме
- •2.3.1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •2.3.1.4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •2.3.1.5. Действия над комплексными числами в показательной форме
- •2.3.2. Контрольные вопросы
- •2.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Основные задачи аналитической геометрии
- •3.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.1.2. Контрольные вопросы
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.2.2. Контрольные вопросы
- •3.2.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •Тема 4. Предел функции
- •4.1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •4.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.1.1.1. Элементы теории множеств
- •4.1.1.2. Операции над множествами
- •4.1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.
- •4.1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности
- •4.1.1.5. Числовые множества
- •4.1.1.6. Подмножества множества (интервалы)
- •4.1.1.7. Окрестность точки
- •4.1.1.8. Понятие функции
- •4.1.1.9. Элементарные функции, свойства функции
- •4.1.1.10. Четность, нечетность.
- •4.1.2. Контрольные вопросы
- •4.2. Теория пределов
- •4.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.2.1.1. Числовая последовательность
- •4.2.1.2. Предел числовой последовательности
- •4.2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4.2.1.4. Предел функции
- •4.2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций
- •4.2.1.6. Замечательные пределы
- •4.2.2. Контрольные вопросы
- •4.3. Предел и непрерывность функции
- •4.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.3.1.1. Односторонние пределы
- •4.3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела
- •4.3.1.3. Непрерывность функции
- •4.3.1.4. Точки разрыва и их классификация
- •4.3.1.5. Свойства непрерывных функций
- •4.3.2. Контрольные вопросы
- •4.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Вычисление производных
- •5.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.1.1.1. Производная функции
- •5.1.1.2. Правило дифференцирования по шагам
- •5.1.1.3. Геометрический смысл производной.
- •5.1.1.4. Правила и формулы дифференцирования
- •5.1.1.5. Таблица производных:
- •5.1.1.6. Производная сложной функции
- •5.1.1.7. 1. Логарифмическое дифференцирование
- •5.1.1.8. Производные высших порядков
- •5.1.1.9. . Дифференциал функции, его свойства
- •5.1.2. Контрольные вопросы
- •5.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.2.1.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2.1.2. Точки экстремума функции, необходимое условие экстремума
- •5.2.1.3. Первый достаточный признак экстремума функции
- •5.2.1.4. Схема исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы
- •5.2.1.5. Второй достаточный признак экстремума функции
- •5.2.1.6. Второй способ исследования функции на экстремум
- •5.2.1.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •5.2.1.8. Выпуклость, вогнутость графика функции
- •5.2.1.9. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.
- •5.2.1.10. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •5.2.1.11. Асимптоты графика функции
- •5.2.1.12. Общая схема исследования функции
- •5.2.2. Контрольные вопросы
- •5.3. Исследование функций двух переменных
- •5.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.3.1.1. Экстремумы функции двух переменных, необходимое условие экстремума
- •5.3.1.2. Достаточные условия экстремума
- •5.3.2. Контрольные вопросы
- •5.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •6.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.1.1.1. Неопределенный интеграл
- •6.1.1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •6.1.1.3. Таблица интегралов
- •6.1.1.4. Метод интегрирования по частям
- •6.1.1.5. Рациональные дроби
- •6.1.1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •6.1.1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •6.1.1.8. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •6.1.1.9. Интегрирование иррациональных выражений
- •6.1.2. Контрольные вопросы
- •6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •6.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.2.1.1. Определение определенного интеграла
- •6.2.1.2. Свойства определенного интеграла:
- •6.2.1.3. Вычисление определенного интеграла, физические приложения определенного интеграла
- •6.2.1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •6.2.1.5. Формула замены переменной в определенном интеграле
- •6.2.1.6. Приложения определенного интеграла
- •6.2.1.7. Площадь плоской фигуры
- •6.2.1.8. Объем тела вращения
- •6.2.1.9. Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом интегрирования
- •6.2.2. Контрольные вопросы
- •6.2.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •7.1. Сходимость знакоположительных рядов
- •7.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.1.1.1. Числовой ряд, сумма ряда, свойства рядов
- •7.1.1.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •7.1.1.3. Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •7.1.2. Контрольные вопросы
- •7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов
- •7.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.2.1.1. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница
- •7.2.1.2. Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •7.2.1.3. Схема исследования знакочередующихся рядов на сходимость
- •7.2.2. Контрольные вопросы
- •Тема 8. Функциональные ряды
- •8.1. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
- •8.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •8.1.1.1. Функциональные ряды
- •8.1.1.2. Область сходимости степенного ряда
- •8.1.1.3. Схема нахождения области сходимости степенного ряда
- •8.1.1.4. Ряд Тейлора
- •8.1.1.5. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
- •8.1.2. Контрольные вопросы
- •8.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 9. Численные методы
- •9.1. Нахождение корней уравнений итерационным методом
- •9.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.1.1.1. Постановка задачи
- •9.1.1.2. Графический метод
- •9.1.1.3. Отделение корней
- •9.1.1.4. Метод деления отрезка пополам
- •9.1.1.5. Метод хорд
- •9.1.1.6. Метод итераций
- •9.1.1.7. Достаточное условие применимости метода итераций
- •9.1.2. Контрольные вопросы
- •9.2. Примеры численного интегрирования
- •9.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.2.1.1. Формулы прямоугольников
- •9.2.1.2. Формула трапеций
- •9.2.1.3. Формула Симпсона
- •9.2.2. Контрольные вопросы
- •9.3. Примеры численного интерполирования
- •9.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.3.1.1. Интерполяционная формула Лагранжа
- •9.3.1.2. Интерполяционная формула Ньютона
- •9.3.1.3. Линейное интерполирование
- •9.3.2. Контрольные вопросы
- •Раздел. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •Тема 10. Случайные события
- •10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
- •10.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •10.1.1.1. Случайные события
- •10.1.1.2. Определение вероятности события
- •10.1.1.3. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность
- •10.1.1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •10.1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 11. Случайные величины
- •11.1. Законы распределения случайной величины
- •11.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •11.1.1.1. Случайные величины
- •11.1.1.2. Дискретная случайная величина
- •11.1.1.3. Непрерывная случайная величина
- •11.1.1.4. Нормальный закон распределения случайной величины
- •11.1.1.5. Биномиальный закон распределения. Формула Бернулли
- •11.1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 12. Математическая статистика
- •12.1. Методы математической статистики
- •12.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •12.1.1.1. Случайная выборка из генеральной совокупности, ее табличное представление
- •12.1.1.2. Графическое представление случайной выборки
- •12.1.1.3. Точечные и интервальные оценки
- •12.1.1.4. Проверка статистических гипотез
- •12.1.2. Контрольные вопросы
- •12.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
M < 0.1. В этом случае каждое приближение содержит по крайней мере на один верный знак больше, чем предыдущее.
9.1.2. Контрольные вопросы
Что понимается под приближенным решением уравнения? Что такое погрешность?
Вчем состоит процедура отделения корня?
Вчем состоит суть метода деления отрезка пополам?
Какова процедура отыскания корня уравнения методом хорд, каков критерий выбора начального приближения?
В чем состоит суть метода итераций, каково достаточное условие применимости данного метода?
9.2. Примеры численного интегрирования
9.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
Рассмотрим непрерывную на [a,b] функцию f (x) . Пусть требуется найти
b
∫ f (x)dx . Формула Ньютона-Лейбница позволяет свести эту задачу к задаче на-
a
хождения первообразной для функции f (x) . С помощью этой формулы можно
вычислить интегралы от элементарных функций, у которых первообразные также являются элементарными функциями.
Однако существует много функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, не всегда подынтегральная функция задается с помощью формулы, иногда она задается графиком или таблицей. В этих случаях формула Ньютона-Лейбница неприменима.
Поэтому важно знать общие универсальные методы вычисления определенных интегралов. Это приближенные методы, которые позволяют вычислить интеграл по значению подынтегральной функции во множестве точек отрезка [a,b] . Соответствующие формулы называются формулами численного интег-
рирования. Они основываются на определении определенного интеграла, как предела интегральных сумм
126
b |
|
|
|
n |
∫ f (x)dx = lim |
→0 |
∑ f (ξk ) xk . |
||
a |
max |
xk |
k=1 |
|
|
|
|
9.2.1.1. Формулы прямоугольников
b
Пусть требуется найти ∫ f (x)dx . Построим интегральную сумму следую-
a
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками |
x0 = a , |
x1 , |
x2 , ..., |
||||||||||||||||||
x |
= b причем, x |
− x |
= x |
− x =…= x |
− x |
|
= h , т.е. h = |
b − a |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
n |
|
n−1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Выберем точки ξk [xk−1, xk ], |
k = |
|
, |
|
так, чтобы ξk |
= xk−1 . Если ввести |
|||||||||||||||
|
1,n |
|
||||||||||||||||||||
обозначения y0 = f (x0 ) , y1 = f (x1) , ..., |
yn = f (xn ) , то интегральная сумма будет |
|||||||||||||||||||||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y h + y h + ... + y |
n−1 |
h = h( y |
+ y |
+ ... + y |
n−1 |
) = b − a ( y |
0 |
+ y + ... + y |
n−1 |
) . |
|||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При достаточно мелком разбиении отрезка [a,b] (т.е. достаточно малом
шаге h) интегральную сумму можно считать приближенным значением интеграла. Таким образом, получаем формулу
b |
|
|
|
∫ f (x)dx ≈ b − a |
( y0 + y1 +…+ yn−1) , |
(36) |
|
a |
n |
|
|
|
|
|
которая называется формулой прямоугольников или (что более точно) формулой левых прямоугольников.
Название этой формулы связано с ее геометрической интерпретацией
b
(рис. 9.2.1). Интеграл ∫ f (x)dx – это площадь криволинейной трапеции, а при-
a
ближенное значение интеграла – это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
127
y |
y = f (x) |
|
|
|
|
y0 y1 y2 |
|
|
h |
h h |
|
0 x0=a x1 x2 |
xn=b x |
|
|
РИС. 9.2.1 |
|
То есть площадь криволинейной трапеции приблизительно равна площади ступенчатой фигуры.
В данном случае ступенчатая фигура состоит из прямоугольников с основание h и высотой, равной значению подынтегральной функции в левом конце отрезка [xk−1, xk ].
Если при построении интегральной суммы точку ξk [xk−1, xk ], k =1,n ,
выбрать так, чтобы ξk = xk , то аналогично получим еще один вид формулы
прямоугольников (формула правых прямоугольников)
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx ≈ b − a |
( y1 + y2 +…+ yn ) . |
(37) |
||||||
a |
|
n |
|
|
|
|
|
|
Погрешность формул (36) и (37) можно оценить по формуле |
|
|||||||
Rn ≤ |
h |
(b − a) max |
|
′ |
|
. |
(38) |
|
|
|
|||||||
2 |
|
f (x) |
|
|||||
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
9.2.1.2. Формула трапеций
y |
|
y = f (x) |
|
y1 y2 |
|
y0 |
|
0 x0=a x1 x2 |
b x |
РИС. 9.2.2 |
|
128
Более точную приближенную формулу для вычисления интеграла можно получить, если заменить график функции f (x) ломаной линией, состоящей из отрезков прямых, проходящих через точки (xk , f (xk )).
В результате получим, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей трапеций высоты h и с основаниями, равными yk−1 и yk (рис. 9.2.2):
b |
y0 |
+ y1 |
|
|
y1 + y2 |
|
|
yn−1 + yn |
|
|
||||||
∫ f (x)dx ≈ |
h + |
h + + |
h |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
− a |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|||
∫ f (x)dx ≈ |
|
n |
|
|
0 |
+ y1 + y2 |
+…+ yn−1 |
+ |
|
. |
(39) |
|||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Эта формула называется формулой трапеций. Погрешность формулы (39) можно оценить по формуле
|
|
Rn ≤ |
h2 |
(b − a) max |
|
′′ |
|
. |
|
(40) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
12 |
|
f (x) |
|
|
|||||
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, формулу трапеций можно также получить, если взять |
|||||||||||
среднее арифметическое правых частей формул (36), (37) |
|
||||||||||
b |
|
|
( y0 |
+ y1 +…+ yn−1) + ( y1 + y2 +…+ yn ) |
|
|
|||||
∫ f (x)dx ≈ b − a |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
a |
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2.1.3. Формула Симпсона
Еще более точное значение определенного интеграла можно получить с помощью формулы Симпсона.
При ее построении отрезок интегрирования [a,b] разбивается на четное
число 2n равных частей длины h = b2−na . На каждом k -ом сдвоенном отрезке
[x2(k−1) , x2k ] график функции приближенно заменяется отрезком параболы, про-
ходящей через точки (x2(k−1) , f (x2(k−1) )), (x2k−1, f (x2k−1)), (x2k , f (x2k )).
Можно показать, что уравнение этой параболы будет иметь вид: 129
P(x)
где t = x − x2(k−1) ,
h
y2k−1 = y2k − y2k−1 .
x2k
Тогда ∫ f (x)dx
= y2(k−1) + t y2(k−1) |
+ |
t(t −1) |
2 |
y2(k−1) |
, |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 y2(k−1) = yk − yk−1 , |
|
y2(k−1) = y2k−1 − y2(k−1) , |
x2k
≈ ∫ P(x)dx .
x2(k −1) x2(k −1)
Сделаем замену переменной в определенном интеграле:
x = th + x |
|
, |
dx = hdt, |
x = x |
|
|
t = 0, |
|
x = x |
|
|
t = |
x2k |
− x2(k−1) |
= |
2h |
= 2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2(k−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(k−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
|||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2(k−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
f (x)dx ≈ |
∫ |
|
y |
2(k−1) |
+ t |
y |
2(k−1) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(t −1) hdt = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2(k −1) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
2 y2(k −1) |
t3 |
|
|
|
t2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= h y |
2(k−1) |
t |
+ y |
2(k−1) 2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2(k−1) + 2 y2(k−1) |
|
+ |
1 |
2 |
y2(k−1) |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= h |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= h 2 y2(k−1) + 2( y2k−1 |
− y2(k−1) ) + |
1 ( |
|
y2k−1 − |
|
y2(k−1) ) |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
( y2(k−1) + 4 y2k−1 + y2k ) . |
||||||||||||
= h 2 y2k−1 |
3 |
( y2k − y2k−1) − ( y2k−1 − y2(k−1) ) |
= |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, находим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∫ f (x)dx = ∫ |
f (x)dx + ∫ f (x)dx +…+ ∫ |
|
f (x)dx ≈ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
≈ h |
(y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 +…+ 2 y2(n−1) + 4 y2n−1 + y2n ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в формулу значение h , окончательно получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 y2(n−1) + 4 y2n−1 + y2n ). (41) |
|||||||||||||||
∫ f (x)dx ≈ b − a (y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (41) называется формулой парабол или формулой Симпсона.
Погрешность формулы (41) можно оценить по формуле
130