1
lim (1 + x)x = e .
x→0
Число e является иррациональным числом ( e ≈ 2,718281... ).
Особую роль в математическом анализе имеют показательная и логариф-
мическая функции с основанием e , то есть y = ex и y = loge x .
Натуральным логарифмом числа x называется логарифм по основанию e . Обозначается: ln x = loge x .
4.2.2. Контрольные вопросы
1)Что называется последовательностью?
2)Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
3)Какая последовательность называется сходящейся, что называется пределом последовательности?
4)Дать определение предела функции на бесконечности.
5)Дать определение окрестности точки.
6)Дать определение предела функции в точке.
7)Сформулировать свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
8)Запишите первый замечательный предел и его разновидности. Какую неопределенность раскрывает этот предел?
9)Запишите второй замечательный предел и его вторую форму. Какую неопределенность раскрывает этот предел?
10)Как определяется число e? Чему оно равно? Как называется и обозначается логарифм по основанию e?
4.3.Предел и непрерывность функции
4.3.1.Вопросы для самостоятельного изучения
4.3.1.1.Односторонние пределы
Левосторонний предел функции f (x) (предел слева) обозначают:
lim f (x)= |
lim f (x)= f (a − 0). |
x→a |
x→a−0 |
(x<a) |
|
Правосторонний предел функции f (x) (предел справа) обозначают:
lim f (x)= |
lim f (x)= f (a + 0). |
x→a |
x→a+0 |
(x>a) |
|
|
54 |
4.3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела
Для того чтобы существовал lim f (x), необходимо и достаточно, чтобы |
|||
|
x→a |
|
|
односторонние пределы lim f (x) |
и |
lim |
f (x) существовали и были равны |
x→a−0 |
x→a+0 |
|
|
между собой: |
|
|
|
lim f (x) = |
lim |
f (x). |
|
x→a−0 |
|
x→a+0 |
|
4.3.1.3. Непрерывность функции
Первое определение непрерывности функции в точке
Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0 , на-
зывается непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Второе определение непрерывности функции в точке
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции y .
Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
4.3.1.4. Точки разрыва и их классификация
Точки, в которых нарушено условие непрерывности функции, называются
точками разрыва функции.
Устранимый разрыв
Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если
существует lim f (x) = b, но f (x0 )≠ b или f (x0 ) не существует.
x→x0
Скачок
Точка x0 называется точкой скачка функции f (x), если односторонние пределы существуют, но не равны, то есть
55
f (x0 − 0) ≠ f (x0 + 0).
Бесконечный разрыв
Точка x0 называется точкой бесконечного разрыва функции f (x), если
lim f (x) = ∞.
x→x0
4.3.1.5. Свойства непрерывных функций
Свойства функций, непрерывных в точке
1) |
Символ непрерывной функции и символ предела можно менять места- |
||
ми, то есть: |
|
|
|
|
lim |
f (g(x))= f lim g(x) . |
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
2) |
Пусть функции f (x) |
и g (x) непрерывны в точке x0 . Тогда функции |
|
f (x)± g (x), f (x) g (x), gf ((xx)) ( g (x0 )≠ 0 ) также непрерывны в точке x0 .
3) Всякая элементарная функция непрерывна в области ее определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b) и
|
|
lim |
f (x)= f (a), lim f (x)= f (b). |
||||
|
|
x→a+0 |
|
|
|
|
x→b−0 |
Если функция f (x) |
непрерывна на отрезке [a, b], то выполняются сле- |
||||||
дующие свойства: |
|
|
|
|
|
||
1) |
f (x) |
ограничена на [a, b], то есть |
|||||
|
f (x) |
C > 0 : |
|
f (x) |
|
≤ C, x [a, b]; |
|
|
|
|
|||||
2) |
принимает свои наибольшее M и наименьшее m значения на |
||||||
[a, b]; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
f (x) |
принимает все промежуточные значения μ между m и M , то |
|||||
есть существует такая точка c [a, b], в которой f (c)=μ. 56