15.Дайте определение критических точек. Как их найти?

16.Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.

17.Приведите схему исследования функции на экстремум.

5.3.3.Практическое задание для самостоятельной работы

Провести полное исследование функций.

Тема 6. Интегральное исчисление

6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами

6.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

6.1.1.1.Неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) , если вы-

полняется равенство F′(x) = f (x) .

81

Любая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообраз-

ных. Если F (x) – одна из первообразных функции f (x), то все множество

первообразных имеет вид F (x) + C , где C – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неоп-

ределенным интегралом от функции f (x) и обозначается ∫ f (x)dx .

Терминология:

f (x) – подынтегральная функция;

f (x)dx – подынтегральное выражение;

x– переменная интегрирования;

∫– знак интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции на-

зывается интегрированием.

6.1.1.2.Свойства неопределенного интеграла

1.Свойства, связывающие операции дифференцирования и интегрирования:

2. Свойства линейности неопределенного интеграла:

∫f1 (x) ± f2 (x) dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx ;

∫af (x)dx = a∫ f (x)dx ,

где a – постоянная.

3. Если ∫ f (x)dx = F (x)+ C , то ∫ f (ax + b)dx = a1 F (ax + b)+ C .

82

6.1.1.3. Таблица интегралов

6.1.1.4. Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям

∫udv = uv − ∫vdu .

Виды интегралов, берущихся методом интегрирования по частям

При разбиении подынтегрального выражения на множители u , dv необходимо руководствоваться следующими соображениями:

1) при вычислении интеграла ∫udv методом интегрирования по частям приходится вычислять два интеграла∫dv и ∫vdu , поэтому, за dv необходимо обозначить такое выражение, которое можно проинтегрировать, а интеграл

∫vdu должен быть проще, чем исходный;

83

2) так как под знаком нового интеграла ∫vdu находится дифференциал du = u′dx функции u (x), то за u надо обозначить функцию, которая при диф-

ференцировании упрощается.

Выделим два типа интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Первый тип:

∫xn cos axdx, ∫xn sin axdx, ∫xneaxdx, n > 0 – целое.

Здесь u = xn , а в качестве dv выбирается cos axdx , sin axdx , eax dx .

Второй тип:

∫xn ln xdx, ∫xn arctg xdx, ∫xn arcsin xdx .

Здесь в качестве u берутся функции ln x , arctg x , arcsin x , а dv = xndx .

6.1.1.5. Рациональные дроби

Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называет-

ся отношение двух многочленов

Представление (13) называется выделением целой части.

Среди правильных рациональных дробей выделяются простейшие дроби двух видов:

1. Простейшие дроби первого типа: