РАЗДЕЛ. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Тема 10. Случайные события

10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты

10.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

10.1.1.1.Случайные события

Испытание – это действие, которое может повторяться при неизменных условиях любое число раз.

Случайное событие – это любой случайный результат испытания, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Обозначается Ω. .

Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в результате испытания. Обозначается .

Множество элементарных исходов – это множество попарно несовмест-

ных случайных событий, одно (и только одно) из которых обязательно является результатом испытания. Обозначение: Е1, Е2 ,.... Говорят, что множество эле-

ментарных исходов образует полную группу событий.

Геометрическое изображение случайных событий (диаграмма Эйле- ра-Венна)

Достоверное событие Ω – это прямоугольник, случайное событие А – это область в прямоугольнике (Рис. 10.1.1), совместные события – это пересекающиеся области (Рис. 10.1.2).

135

Произведением событий А и В называется событие АВ – « произошли оба события А и В».

Событие А – «событие А не произошло» называется противоположным к событию А.

Введенные действия над событиями могут быть представлены на диа-

грамме Эйлера–Венна (Рис. 10.1.3-Рис. 10.1.5).

Действия над событиями обладают следующими свойствами:

1)А+ В = В + А, АВ = ВА;

2)(А+ В)С = АС + ВС ;

3)А+ А= А, АА= А;

6) Ω + = Ω, Ω = .

136

10.1.1.2. Определение вероятности события

а) Статистическое определение вероятности

Пусть n – число проведенных испытаний,

nА – число испытаний, в которых произошло событие А.

Тогда число pˆ = ппА называется частотой события А.

Вероятностью события А называется число Р(А) , около которого стаби-

лизируется частота рˆ события А при увеличении числа испытаний п. Таким образом, имеем

pˆ →P(A) .

n→ ∞

б) Классическое определение вероятности

Вероятностью события А называется число

Р(А) = тп ,

где п – число элементарных исходов испытания, а т – число элементарных исходов, благоприятствующих событиюА.

10.1.1.3. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность

Теорема сложения. Для любых случайных событий А и В справедлива формула

Р( А+ В) = Р(А) + Р(В) − Р(АВ) .

Следствия:

1) если события А и В несовместны (т.е. АВ = , Р(АВ) = 0), то формула приобретает вид

Р( А+ В) = Р(А) + Р(В) ,

что соответствует третьей аксиоме вероятностей.

2) так как А и А несовместные события, и А+ А = Ω – достоверное событие, то

1 = Р(Ω) = Р(А+ А) = Р(А) + Р(А) .

Следовательно,

137

Р( А) =1 − Р( А) , Р(А) =1 − Р(А) .

3) для любых трех случайных событий А, В,С имеет место формула

Р( А+ В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) − Р(АВ) − Р(АС) − Р(ВС) + Р(АВС) .

События А и В называются зависимыми, если вероятность события В (или А) зависит от того, произошло А (или В) или нет.

Условной вероятностью Р(ВА) события В называется вероятность со-

бытия В при условии, что событие А произошло.

Аналогично, Р(В А) – вероятность события В при условии, что событие

А не произошло.

Теорема умножения. Для любых случайных событий А, В справедлива

формула

Р(АВ) = Р(А) Р(В А) = Р(В) Р(А В) .

Следствия:

1)условная вероятность вычисляется по формуле

Р(ВА) = РР((АВА)) ;

2)если события А, В – независимы, а значит Р(ВА) = Р(В) , то

Р( АВ) = Р(А)Р(В) ; 3) для любых трех событий А, В,С имеет место формула

Р( АВС) = Р(А)Р(В А)Р(С АВ) ;

4) так как (A + B) + А В = Ω, и события А+ В и А В несовместны, то

Р( А+ В) + Р(А В) =1,

а значит

Р( А+ В) =1 − Р(А В) .

Эта формула может быть распространена на сумму любого числа событий

Р(А1+ А2+ + Ап) =1 − Р(А1 А2 …Ап) .

10.1.1.4.Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассмотрим некоторое испытание и случайное событие А, которое может произойти в результате испытания. Предположим, что наступление события А

138