9.2.2. Контрольные вопросы

Что такое численное интегрирование?

Запишите формулы левых и правых прямоугольников. По какой формуле оценивается погрешность этих формул?

Запишите формулу трапеций. По какой формуле оценивается погрешность этой формулы?

Запишите формулу Симпсона. По какой формуле оценивается погрешность этой формулы?

9.3. Примеры численного интерполирования

9.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения

9.3.1.1.Интерполяционная формула Лагранжа

Впрактике вычислений часто приходится иметь дело с функциями, заданными таблично. Каждая таблица содержит значения функции для конечного числа значений аргумента, принадлежащих некоторому ограниченному отрезку [a,b] . Задача интерполирования состоит в том, чтобы описать данную функцию

аналитически, что необходимо для отыскания значений функции в точках, отсутствующих в таблице. Наиболее часто аналитическое представление функции, заданной таблично, записывают в виде полиномов. Заменять функцию полиномами можно по-разному. Один из возможных способов приводит к следующей постановке задачи.

Постановка задачи интерполирования

Даны n +1 различных значений независимой переменной: xi , i = 0,n и,

соответственно n +1 значений функции yi , i = 0,n . Требуется найти полином

Указанный полином (43) называется интерполяционным полиномом

(многочленом) степени n, а числа xi , i = 0,n – узлами интерполяции.

Задачу отыскания коэффициентов интерполяционного полинома можно решить, подставив в левую часть условий (44) выражение для Pn (x) .

В результате придем к многочлену вида

9.3.1.2. Интерполяционная формула Ньютона

Довольно часто возникает необходимость интерполяции данных, заданных в виде таблицы значений в равноотстоящих узлах, то есть в точках xi = x0 + ih , где h – шаг таблицы. В этом случае для записи интерполяционного многочлена удобнее использовать не формулу Лагранжа, а в формулу Ньютона,

использующую так называемые табличные разности различных порядков.

Если интерполяционный полином искать в виде

P(x) = c0 + c1(x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1) +…+ cn (x − x0 )(x − x1) (x − xn )

и учесть, что P(xi ) = yi , то придем к интерполяционной формуле Ньютона

132

Использование интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона требует проведения достаточно большого объема вычислений и удобно при выполнении расчетов на ЭВМ. Однако довольно часто бывает нужно найти приближенные значения функции, заданной таблично, с применением простейших вычислительных средств или вообще при их отсутствии. В этом случае применяют более простые способы интерполирования, к которым, в частности, относится линейное интерполирование.

9.3.1.3. Линейное интерполирование

Суть задачи линейного интерполирования состоит в нахождении значения функции, заданной таблично, в некоторой промежуточной точке x , не содержащейся в таблице. Особенностью этой задачи является то, что функция заменяется кусочно-линейной, проходящей через узлы интерполяции (см. рис. 9.3.1). То есть на каждом отрезке [xi , xi+1] проводится прямая, проходящая через точки (xi , yi ) и (xi+1, yi+1) .

В силу того, что требуется найти значение y в точке x (xi , xi+1) , задача сводится к записи уравнения прямой, проходящей через две точки (xi , yi ) и