3.2. Кривые второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ТАБЛИЦА 3.2.1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|
|
|
|||||||||||||
Понятие, |
|
|
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
Парабола |
|
||||||||
свойство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Каноническое |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
=1 |
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
=1 |
|
y2 = 2 px |
|
|
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|||||
2. График. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
d |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
r1 |
|
r2 |
|
|
M |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b B2 |
M |
|
|
|
|
|
|
O |
F |
|
|||
|
A1 |
|
r1 |
|
r2 |
A2 |
F |
A |
|
a |
F x |
− p |
|
||||
|
|
|
|
|
p |
x |
|||||||||||
|
-a F1 |
|
|
F2 |
a x |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
-b B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Вершины. |
A1(−a,0), A2 (a,0) |
A1(−a,0), A2 (a,0) |
|
O(0,0) |
|
||||||||||||
|
B1(0,−b), B2 (0,b) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Оси. |
2a – большая ось, |
2a – действитель- |
|
|
|
2b – малая ось |
ная ось, |
|
|
|
(a > b) |
2b – мнимая ось |
|
|
|
|
|
|
5. |
Фокусы. |
F1(−c,0) , F2 (c,0) , |
F1(−c,0) , F2 (c,0) , |
F( p / 2,0) |
|
|
c = a2 − b2 |
c = a2 + b2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6. |
Основное |
(фо- |
|
|
кальное) |
r1 + r2 = 2a |
| r1 − r2 |= 2a |
r = d |
|
свойство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Эксцен- |
ε = c / a |
ε = c / a |
ε =1 |
триситет. |
ε <1 |
ε >1 |
|
|
36
Понятие, |
Эллипс |
Гипербола |
Парабола |
|
свойство |
||||
|
|
|
||
8. Дополни- |
|
y = ± b x – |
x = −p / 2 – дирек- |
|
тельные свойства. |
|
a |
триса, |
|
|
|
асимптоты |
p – фокальный па- |
|
|
|
|
||
|
|
|
раметр |
|
|
|
|
|
|
3.2.2. Контрольные вопросы |
|
|
||
1)Какой вид имеют канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?
2)Дайте определение фокусов для эллипса, гиперболы параболы.
3)Что называется эксцентриситетом и как по его значению определить вид кривой?
4)Что называется асимптотами гиперболы и какой вид имеют их уравнения?
5)Что называется директрисой параболы и какой вид имеет ее уравнение?
6)Постройте графики эллипса, гиперболы и параболы.
3.2.3.Практическое задание для самостоятельной работы
1.Даны координаты вершин треугольника АВС: А (-2;7), В(10;-2), С(8;12).
Найти: |
|
y |
N |
С |
||
1) |
Длину стороны АВ. |
А |
F |
|
||
2) |
Внутренний угол А. |
|
||||
|
|
|
||||
3) |
Уравнение медианы СМ. |
К |
|
|
||
4) |
Уравнение высоты СК |
|
М |
|
||
5) |
Точку F пересечения высот CK и BN. |
|
||||
|
|
|||||
6) |
Площадь треугольника АВС. |
|
|
|
||
Варианты заданий: |
|
|
|
|||
|
1. |
А(-8;-3), |
В(4; -12), |
С(8; 10). |
|
|
|
2. |
А(-5; 7), |
В(7; -2), |
С(11; 20). |
|
|
|
3. |
А(-12; -1), |
В (0; -10), |
С (4; 12). |
|
|
|
4. |
А (-10; 9), |
В (2; 0), |
С (6; 22). |
|
|
|
5. |
А (0; 2), |
В (12; -7), |
С (16; 15). |
|
|
|
6. |
А(-9; 6), |
В (3; -3), |
С (17; 19). |
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
x
В
7. |
А(1; 0), |
В(13; -9), |
С(17;16). |
8. |
А (-4; 10), |
В(8;1), |
С (12;23). |
9. |
А(2; 5), |
В(14; -4), |
С18; 18). |
10.А(-1; 4), |
В(11;-5), |
С(15;17). |
|
2.Найти центр и радиус окружности, определить количество пересечений
сосями координат и расстояние от центра окружности до данной точки М(х,у),
если окружность задана уравнением:
1) |
x2+ y2 - 4x - 8y -11 = 0; |
M(-3; 2). |
||
2) |
2x2+ 2y2 + 12x - 8y - 6 = 0; |
M(0; -2). |
||
3) |
x2+ y2 - 10x + 6y - 2 = 0; |
M(4; - 4). |
||
4) |
3x2+ 3y2 + 6x |
- 72 = 0; |
M(1; 3). |
|
3. Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относи- |
||||
тельно осей координат, если известно расстояние между фокусами F1F2 и экс- |
||||
центриситет ε : |
|
|
|
|
1) |
F1F2 = 2 |
3 , |
ε= 1/2. |
|
2) |
F1F2 = 2 |
5 , |
ε = 1/3. |
|
4. |
Написать |
каноническое |
уравнение эллипса, симметричного относи- |
|
тельно осей координат, если известна большая полуось а и эксцентриситет ε:
1) |
а = 15 , |
ε = |
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
2) |
а = 10 , |
ε = 2 / 10 . |
|||
5. Составить уравнения геометрического места точек, отношения расстояний которых до данной точки А(x,y) и до данной прямой x=a равно числу h. Полученное уравнение привести к каноническому виду. Затем построить кри-
вую. |
|
|
|
|
|
1) A(-8;0), |
x = -9, |
h = |
2 |
2 ; |
|
|
|
|
3 |
|
|
2) A(-6;0), |
x = -8, |
h = |
3 |
; |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
38
3) A(-4;0), |
x = -1, |
h = 2; |
|
4) |
A(-3;0), |
x = -4/3, |
h = 1,5; |
5) |
A(-2;0), |
x = 2,5, |
h = 1; |
6) |
A(2;0), |
x = 4,5, |
h = 2/3; |
7) |
A(3;0), |
x = 4/3, |
h = 1,5; |
8) |
A(4;0), |
x = 5, |
h = 1; |
9) |
A(6;0), |
x = 1,5, |
h = 2. |
39