- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
Основные элементы сетевого графика
Работа – любое действие, трудовой процесс, который сопровождается затратами ресурсов и времени и приводит к определенным результатам. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i - номер события, из которого работа выходит, а j - номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t(i,j).
Работа в сетевом графике бывает трех видов
действительная работа – это протекающий во времени процесс, требующий затрат труда, материалов и других ресурсов, изображается сплошной стрелкой;
работа-ожидания, которая требует только затрат времени и на графике изображается пунктирными стрелками с точками;
фиктивная работа – представляет собой логическую взаимосвязь работ и показывает, что начало одной из них непосредственно зависит от другой и на графике изображается пунктирными стрелками.
Событие – результат выполнения одной или нескольких работ. Оно не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда заканчивается последняя из работ, входящая в него. Событие имеет двойственное значение: для предшествующих работ оно является законченным свершением, а для последующих работ – начальным пунктом их выполнения. События обозначаются одним числом и при графическом представлении изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i == 1, 2, ..., N). В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и завершающее событие (с номером N), в которое работы только входят. Начальное событие – это момент начала выполнения комплекса работ, означающее наличие условий для начала работ всего комплекса. В одной сетевой модели должно быть только одно исходное событие. Завершающее событие – это момент окончания выполнения комплекса работ. События бывают комплексными (результат выполнения нескольких работ) и частными (результат выполнения нескольких работ). Если события связаны между собой одной работой, то они называются смежными.
Путь - это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.
Основные требования к сетевой модели
1. События правильно пронумерованы, т.е. для каждой работы (i,j), где i<j. При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм перенумерации событий.
2. Отсутствуют тупиковые события (за исключением завершающего), т.е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа.
3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа.
4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.
5. Если какие-либо работы могут начаться раньше свершения непосредственно предшествующего им события, то работу целесообразно разбить на части с присвоением соответствующих имен промежуточным событиям.
При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.
Значение основных параметров сетевого графика и их расчеты рассмотрим на примере.
Пример 4.3. Построить в соответствии с правилами сетевой график и рассчитать его основные параметры:
|
1,2 |
1,3 |
1,4 |
2,5 |
2,6 |
3,8 |
3,11 |
4,7 |
4,9 |
5,6 |
6,12 |
7,8 |
7,10 |
8,11 |
9,10 |
10,12 |
11,12 |
|
18 |
30 |
15 |
22 |
12 |
25 |
30 |
9 |
25 |
30 |
22 |
20 |
5 |
35 |
15 |
42 |
32 |
Решение. Правила построения сетевого графика:
стрелки-работы не должны пересекаться;
график должен иметь линейную структуру, то есть события с меньшим номером располагают левее событий, которые имеют больший номер;
начальное событие не имеет входных стрелок;
конечное событие не имеет исходных стрелок;
два события связывает только одна работа;
в сети не должно быть событий, в которые не входит ни одна работа, и событий, из которых не выходит ни одна работа;
в сети не должно быть циклов и петель.
Строим в соответствии с правилами сетевой график, который изображен на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 – Сетевой график
Вначале нужно выписать все полные пути, соединяющие начальное и завершающее события, найти ихпродолжительность. В результате сопоставления продолжительностей полных путей выявляется путь, имеющий наибольшую продолжительность –критический путь. Его обозначаютLкр, а его продолжительность –tкр. В нашем случае это четвертый путь. Его отмечают на графике. Это делается для того, чтобы основное внимание было сосредоточено на работах критического пути, потому что от выполнения этих работ будут зависеть все остальные работы комплекса.
Критический путь является единственным фактором, определяющим продолжительность всего комплекса работ. Изменение продолжительности критического пути влияет на сроки выполнения всех работ графика. Все остальные пути, в отличие от критического, называются ненапряженными. Из всех напряженных путей выделяются близкие к критическому пути, и пути, наименее напряженные.
Продолжительность критического пути определяет срок наступления завершающего события. Увеличение ее приводит к удлинению сроки выполнения всего комплекса работ, и наоборот, уменьшение ведет к сокращению срока выполнения работ. Эти свойства характерны только для критического пути, все остальные пути сетевого графика этих свойств не имеют. Некоторое увеличение или уменьшение продолжительности этих путей не отражается на удлинении или сокращение срока завершения комплекса работ. Иначе говоря, все ненапряженные пути имеют резервы времени. Эти резервы (полные резервы времени ненапряженных путей) определяются как разность между продолжительностями критического пути и ненапряженных путей:
, (4.2.1)
где - продолжительность пути,- продолжительность критического пути.
Резервы времени являются важнейшим параметром сетевого графика, которые показывают на сколько может быть увеличена продолжительность данного пути без ущерба наступления завершающего события.
Резервы времени существуют во всех случаях, когда в сетевом графике имеется более одного пути, ведущего от начального до завершающего события.
Если в сети имеется только один путь, то он и будет критическим, и работы, лежащие на этом пути, не будут иметь резервов времени.
Для исследуемой сетевой модели полные пути, их продолжительность, полные резервы времени представлены в таблице 4.4.
Таблица 4.4
Характеристики полных путей сетевой модели
Полные пути |
Продолжительность полных путей |
Полные резервы времени путей |
: 1, 2, 5, 6, 12 |
= 18 + 22 + 30 +22 = 92 |
= 122 – 92 = 30 |
: 1, 2, 6, 12 |
= 18 + 22 + 22 = 52 |
= 122 – 52 = 70 |
: 1, 3, 11, 12 |
= 30 +30 + 32 = 92 |
= 122 – 92 = 30 |
: 1, 3, 8, 11, 12 |
= 30 + 25 + 35 + 32 = 122 |
= 122 – 122 = 0 |
: 1, 4, 7, 8, 11, 12 |
= 15 + 9 +20 +35+32 = 111 |
= 122 –111 = 11 |
: 1, 4, 7, 10, 12 |
= 15 + 9 + 5 + 42 = 71 |
= 122 – 71 = 51 |
: 1, 4, 9, 10, 12 |
= 15 + 25 + 15 + 42 = 97 |
= 122 – 97 = 25 |
Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.
Ранний срок свершения события – продолжительность максимального пути от начального до рассматриваемого события, причем tp(1) = 0, a tp(N) = tкp(L):
(4.2.2)
Ранний срок указывает наиболее ранний момент наступления рассматриваемого события.
Например, для события 2 имеем =18, поскольку от начального до события 2 ведет единственный путь, продолжительность которого 18. Для нахождения раннего срока свершения события 6, определим продолжительности путей от начального до события 6 – это 70 и 30. Выбираем наибольшую величину – 70. Поэтому= 70. Результаты вычислений представлены в таблице 4.5.
Поздний срок свершения события – это разность между продолжительностью критического пути и продолжительность максимального пути, следующего за данным событием до завершающего:
, (4.2.3)
где – продолжительность максимального пути, следующего за данным событием до завершающего.
Поздний срок указывает наиболее поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, которые следуют за этим событием. Для конечного события поздний срок свершения равняется критическому сроку . Например, от события 7 до завершающего следуют два пути 47 и 87. Выбираем 87, затем вычитаем это число от 122. Имеем. Результаты вычислений представлены в таблице 4.5.
Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i):
(4.2.4)
Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.
Зная резерв времени каждого события, можно видеть, какой полный резерв имеет максимальный путь, который проходит через данное событие. Это свойство используется при оптимизации сетевых графиков.
События, через которые проходит критический путь, резерва времени не имеют. Это объясняется тем, что у этих событий сроки раннего и позднего свершения совпадают.
Таблица 4.5
Характеристики событий
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
18 |
48 |
30 |
3 |
30 |
30 |
0 |
4 |
15 |
26 |
11 |
5 |
40 |
70 |
30 |
6 |
70 |
100 |
30 |
7 |
24 |
35 |
11 |
8 |
55 |
55 |
0 |
9 |
40 |
65 |
25 |
10 |
55 |
80 |
25 |
11 |
90 |
90 |
0 |
12 |
122 |
122 |
0 |
Для работ рассчитывают следующие характеристики:
раннее начало работысовпадает со сроком раннего свершения начального для этой работы события:
(4.2.5)
раннее окончание работыравно сумме раннего начала и продолжительности работы:
(4.2.6)
позднее начало работыразности между сроком позднего свершения конечного события для данной работы и продолжительности работы:
(4.2.7)
позднее окончание работысо сроком позднего свершения конечного для этой работы события:
(4.2.8)
Резервы времени работхарактеризуют собой максимальное время, на которое может быть увеличина продолжительность выполнения работ без увеличения общего срока выполнения комплекса работ.
полный резерв времени представляет собой разность между поздним и ранним сроками начала работы или между поздним и ранним сроками окончания работы:
(4.2.9)
Полный резерв времени, которым располагают работы и события, сосоит из частных резервов времени.
частный резерв времени первого вида представляет собой такую часть полного резерва времени работы, которую можно использовать на увеличение продолжительности данной работы и в определенных размерах следующих за ней работ, не вызывая сокращения резервов времени ни у одной из предшествующих работ
(4.2.10)
частный резерв времени второго вида представляет собой такую часть полного резерва времени работы, которую можно использовать на увеличение продолжительности данной работы и в определенных размерах предшествующих ей работ, не вызывая сокращения резервов времени ни у одной из последующих работ
(4.2.11)
Независимый (свободный) резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие - начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ. Он образуется у тех работ, для которых разность между сроком раннего свершения конечного события и сроком позднего свершения начального события будет больше продолжительности этой работы:
(4.2.12)
Важная особенность свободного резерва времени состоит в том, что полное использование его для работы, которая его имеет, не отражается на резервах времени предшествующих и последующих работ.
Отрицательная величина свободного резерва времени показывает на то, сколько времени не будет хватать для выполнения работы к сроку раннего свершения ее конечного события, если работа будет начата с момента позднего свершения ее начального события.
Свободный резерв времени может быть выражен и относительной величиной, которая называется коэффициентом свободы. Коэффициент свободы – это отношение времени между ранним сроком свершения конечного события и поздним сроком начального события к продолжительности работы:
. (4.2.13)
Замечание. |
Если свободного резерва нет, то =1. |
Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также “цепочек” пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть по формуле (4.2.14):
, (4.2.14)
где – путь максимальной продолжительности, который проходит через работу;– продолжительность отрезка критического пути, который совпадает с путем.
Он определяет степень срочности работы, позволяет установить очередь их выполнения, если она не определена технологическими связями робот. . Работы критического пути имеют коэффициент напряженности 1. Если, то работу считают подкритической, сроки ее выполнения жесткие, ее следует выполнять в первую очередь после критических работ. Если, то работа является промежуточной по степени напряженности срока ее выполнения. Если, то работа является ненапряженной, ее выполнение можно отложить на некоторый срок, который определяют резервом времени.
В нашем случае для определения коэффициента напряженности (4.2.14) работы (7, 8) находим путь наибольшей продолжительности, который проходит через эту работу – это путь : 1, 4, 7, 8, 11, 12, его продолжительность= 111. Проследим на графике, как пройдет этот путь и где он имеет с критическим путем общие участки. Общие участки (8,11) и (11,12) имеют продолжительность 35 + 32 = 67, тогда коэффициент напряженности равняется. То есть работа (7,8) является подкритической по степени напряженности срока ее выполнения. Аналогично рассчитываем другие коэффициенты напряженности, помня, что коэффициент напряженности работ критического пути равен 1. Перемещая ресурсы с ненапряженных работ на критические, добиваются уменьшения срока выполнения всего комплекса работ.
Все рассчитанные характеристики работ запишем в таблице 4.6.
Таблица 4.6
Характеристики работ сетевой модели
|
|
Сроки наступления работ |
Резервы времени | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||
1,2 |
18 |
0 |
18 |
30 |
48 |
30 |
30 |
0 |
0,75 |
1,3 |
30 |
0 |
30 |
0 |
30 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1,4 |
15 |
0 |
15 |
11 |
26 |
11 |
11 |
0 |
0,8 |
2,5 |
22 |
18 |
40 |
48 |
70 |
30 |
0 |
0 |
0,75 |
2,6 |
12 |
18 |
30 |
88 |
100 |
70 |
40 |
40 |
0,43 |
3,8 |
25 |
30 |
55 |
30 |
55 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3,11 |
30 |
30 |
60 |
60 |
90 |
30 |
30 |
30 |
0,5 |
4,7 |
9 |
15 |
24 |
26 |
35 |
11 |
0 |
0 |
0,8 |
4,9 |
25 |
15 |
40 |
40 |
65 |
25 |
14 |
0 |
0,79 |
5,6 |
30 |
40 |
70 |
70 |
100 |
30 |
0 |
0 |
0,75 |
6,12 |
22 |
70 |
92 |
100 |
122 |
30 |
0 |
30 |
0,75 |
7,8 |
20 |
24 |
44 |
35 |
55 |
11 |
0 |
11 |
0,8 |
7,10 |
5 |
24 |
29 |
75 |
80 |
51 |
40 |
26 |
0,5 |
8,11 |
35 |
55 |
90 |
55 |
90 |
0 |
0 |
0 |
1 |
9,10 |
15 |
40 |
55 |
65 |
80 |
25 |
0 |
0 |
0,79 |
10,12 |
42 |
55 |
97 |
80 |
122 |
25 |
0 |
25 |
0,79 |
11,12 |
32 |
90 |
122 |
90 |
122 |
0 |
0 |
0 |
1 |
ВЫВОДЫ:
Критический срок выполнения комплекса работ составляет 122 временные единицы, то есть все работы данного комплекса можно выполнить за наименьший срок в 94 временные единицы (дни, недели, месяцы и т.п.).
События 1, 3, 8, 11, 12 являются критическими, они принадлежат критическому пути сетевой модели графика. Эти события не имеют резерва времени, то есть их нельзя отложить.
События 2, 5,6 имеют резерв времени 30 временных единиц, события 9,10 – 25, события 4,7 – 11.
Работы (1,3), (3,8), (8,11), (11,12) являются критическими и имеют коэффициент напряженности 1. Их выполнение нельзя отложить и невозможно увеличить срок выполнения этих работ.
Работы (1,4), (4,7), (7,8) являются подкритическими. Их должны выполнять в первую очередь после работ критического пути.
Работы (1,2), (1,4), (2,5), (3,11), (4,9), (5,6), (6,12), (7,10) являются промежуточными.
Работа (2,6) является ненапряженной, она имеет определенный резерв для увеличения ее продолжительности или задержки начала выполнения.