Введение

Любые методы системного анализа, также как и методы исследования операций и теории управления, опираются на математическое описание тех или иных фактов, явлений, процессов, т.е. на математическое моделирование. Употребляя слово “модель” будем иметь в виду некоторое описание, отражающее именно те особенности изучаемого процесса, которые интересуют исследователя. Точность, качество такого описания определяются, прежде всего, соответствием модели тем требованиям, которые предъявляются исследованию, соответствием получаемых с помощью модели результатов изучаемому процессу.

Построение математических моделей – это важный этап исследования и проектирования любой системы. От качества модели зависит судьба всего последующего анализа. Модель должна достаточно правильно отражать явления и быть удобной для использования.

Для комплексного анализа и прогнозирования перспектив развития народного хозяйства страны используются экономико-математические модели, которые различаются целями и принципами построения, способами функционирования и степенью агрегации показателей.

Модель есть некоторое отображение системы, построенное так, чтобы с его помощью можно было исследовать поведение системы и таким образом получать представление о том, как будет действовать в аналогичных ситуациях реальная система.

Любая модель может лишь приближенно отобразить свойства оригинала, но если наиболее важные черты отображены достаточно точно, то она будет неоценимым средством для изучения и усовершенствования системы, для управления изучаемыми процессами.

В более узком смысле эконометрическими моделями считаются системы уравнений, которые учитывают вероятностный характер изучаемых процессов. Уравнения эконометрической модели содержат также и случайные переменные, а ее параметры устанавливаются статистически на основе временных рядов или других выборочных данных.

Математическое моделирование является инструментом, который позволяет перейти от качественного анализа к анализу, который использует количественные статистические значения исследуемых величин. Без математических моделей нельзя построить надежный прогноз, как в инженерных, так и экономических научных исследованиях. Поэтому умение строить и анализировать модели реальных явлений и процессов необходимо специалистам различных областей.

1. Построение экспериментальных законов распределения

1.1. Общие положения

Во многих областях человеческой деятельности приходится сталкиваться с необходимостью установления закона поведения той или иной характеристики изучаемого процесса: поток требований на обслуживание, продолжительность обслуживания, ошибки измерения и т.д. Решение этой задачи предполагает анализ уже известных видов функций распределения и выбор наиболее подходящих. На основе данных эксперимента или наблюдений формируют дискретный или непрерывный вариационный ряд и определяют различные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и др. Эти величины позволяют сделать первое предположение о гипотетическом законе распределения. Известно, что многие теоретические законы обладают определенными характерными особенностями, которые можно использовать при выборе типа закона. Например, важной особенностью закона Пуассона является доказанное теоретически совпадение математического ожидания и дисперсии. Для экспоненциального закона характерно равенство математического ожидания и среднего квадратического отклонения. В случае нормального закона распределения все опытные значения должны отличаться от математического ожидания не более, чем на три средних квадратических отклонения. Если указанные теоретические особенности законов проявляются в практическом материале, то есть достаточно оснований для предварительного выбора и последующей проверки конкретного закона.

В общем случае выбор соответствующего закона распределения для случайных величин является достаточно сложной проблемой. Если ориентироваться только на экспериментальные данные, то иногда можно подобрать несколько законов, каждый из которых будет более или менее точно отображать реальные данные. Форму, тип закона целесообразно определять исходя из смысла изучаемого явления и всестороннего анализа данных. Наибольшее распространение в природе, в инженерных исследованиях имеют случайные величины, распределенные по нормальному, показательному и биномиальному законам. Встречаются и стохастические величины, подчиняющиеся законам Пуассона, Максвелла, Фишера, а также случайные характеристики, имеющие - или- распределения.

Сделав выбор вида закона распределения случайной величины, необходимо его конкретизировать для имеющихся значений – для этих целей часто используется математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. После формирования интегральной функции распределения и плотности вероятности (последняя - для непрерывных случайных величин) необходимо проверить правильность сделанного выбора закона – другими словами, следует оценить согласование построенного закона распределения и фактического вариационного ряда. Для решения этого вопроса применяют различные критерии согласия. Таким образом, подытоживая все выше сказанное, отметим, что процесс построения закона распределения независимо от его вида состоит из двух этапов:

• определение числовых характеристик случайной величины и формирование функций распределения гипотетического закона распределения;

• проверка согласования выбранного закона распределения с эмпирическими данными на основе статистических критериев.

Необходимо отметить, что анализ правильности выбора закона может привести к разным выводам. В одних случаях гипотеза о выбранном законе не отвергается и тогда построенный закон может быть использован для оценки и прогнозирования явления или процесса. Возможен и другой вариант: гипотеза о выбранном законе отвергается, следует вернуться к эмпирическим данным для нового анализа и выбора иного вида закона распределения. Проверка гипотезы о конкретном законе осуществляется путем сравнения фактических и вычисленных теоретических частот. Отклонения фактических частот от теоретических можно охарактеризовать следующим образом:

• расхождения между ними можно считать случайными, они не противоречат друг другу, и предположение о законе распределения признается верным;

• различие фактических и теоретических частот нельзя объяснить случайностью, и предположение о законе распределения признается ошибочным, необходимо попытаться подобрать другой закон.