5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”

Задание 1. Построить математическую модель задачи

1. В опытном хозяйстве установили, что откорм животных выгоден тогда, когда животное будет получать в дневном рационе не менее 6 ед. питательного вещества А, не менее 12 ед. вещества В и не менее 4 ед. вещества С. Для кормления животных используется два вида корма. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержит 1 кг корма каждого вида.

Питательные вещества	Виды корма
	I	II
А	2	1
В	2	4
С	0	4

Цена 1 кг корма вида I равна 50 ден.ед., корма вида II - 60 ден.ед. Сколько корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затра­ты на него были минимальными?

2. На трех группах оборудования необходимо изготовить изделия четырех видов. Установлен план производства: изделий типа А – 2000 шт., Б – 1000 шт., В – 200 шт., Г – 250 шт. Данные о себестоимости каждого изделия, трудоемкости и фон рабочего времени заданы в таблице

Оборудование	Себестоимость одного изделия, крб.				Время на изготовление одного изделия, мин.				Фонд времени, мин.
	а	б	в	г	а	б	в	г
1	1,5	2,4	0,9	1,4	4	8,0	2,5	4,0	35000
2	1,8	1,2	1,0	1,7	2,5	1,2	1,0	1,7	16000
3	2,7	5,4	6,0	5,6	3,5	1,5	1,0	1,2	22000

Составить план загрузки оборудования, при котором минимизируются себестоимость изготовленных изделий.

3. При производстве продукции Р₁ и Р₂ используют 4 группы оборудования А, В, С и D. На выпуск единицы продукции Р₁ расходуется в единицу времени 1; 0,5; 2 и 0 ед. оборудования А, В, С и D соответ­ственно, а единицы продукции Р₂ – 1; 1; 0 и 2 ед. оборудования А, В, С и D. Фонд рабочего времени группы А составляет 18, В – 12, С – 24 и D – 18 ед. времени. Предприятие реализует единицу продукции Р₁ по цене 40 ден.единиц, Р₂ – 60 ден.единиц. Найти план выпуска про­дукции, при котором выручка предприятия будет максимальной.

4. Мебельная фабрика изготовляет столы, стулья, бюро и книжные шкафы, используя два различных вида досок, причем фабрика имеет 500 м досок первого вида и 1000 м досок второго. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количества 800 чел./час. В таблице приведены нормативы затрат каждого вида ресурсов на изготовление одного изделия и доход на одно изделие.

	Затраты на одно изделие
ресурсы	столы	стулья	бюро	книжные шкафы
Доски I вида, м	5	1	9	12
Доски ІІ вида, м	2	3	4	1
Трудовые рсурсы, чел./час	3	2	5	10
Доход на одно изделие (грн.)	12	5	15	10

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход.

3. Для перевозки груза используют машины типов А и Б. Грузоподъемность машин каждого типа 3 т. За один раз машина расходует 1,5 кг смазочных материалов и 50 л бензина. Затраты на эксплуатацию машины А составляют 80 грн., Б – 50 грн. Необходимо перевести 60 т груза. Сколько нужно использовать машин типов А и Б, чтобы эксплуатационные затраты были минимальные?

4. На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов, для которых заготавливают три вида кормов. Количество корма каждого вида, который должны ежедневно получать звери, общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано фермой, и доход от реализации одной шкурки лисицы и песца представленные в таблице:

Вид корма	Количество единиц корма		Общее количество корма
	лисица	песца
1	2	3	360
2	4	1	480
3	6	7	852
Доход от реализации одной шкурки (грн.)	320	250

Определить сколько лисиц и песцов необходимо вырастить на ферме, чтобы доход от реализации их шкурок был максимальный.

3. Предприятие выпускает три вида изделий. Месячная программа выпуска составляет 200 изделий первого вида, 1800 - второго, 1500 - третьего. Для выпуска изделий используют материалы, ежемесячные затраты которых не могут превышать 61000 кг. На одно изделие 1-го вида расходуется 8 кг материала, 2-го - 10 кг, 3-го - 11 кг. Оптовая цена одного изделия первого вида 7 грн., второго и третьего - соответственно 10 грн. и 9 грн. Определить оптимальный план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

4. Для перевозки груза на 3-х направлениях могут быть использовании корабли трех типов. Грузоподъемность кораблей (С_ij) при использовании их на различных направлениях характеризуется числами, приведенными в таблице. В ней указывается также общее время эксплуатации и минимально необходимые объемы перевозки на каждом из направлений. Определить какой корабль, на каком направлении и на протяжении какого времени необходимо использовать, чтобы обеспечивать максимальную загрузку кораблей с учетом возможного времени их эксплуатации.

Вид кораблей	Грузоподъемность кораблей (млн. т./км за пору) на направлении			Общее время эксплуатации
	1	2	3
1	9	15	12	300
2	7	16	14	300
3	13	13	5	300
Объем перевозок, млн.т.	4000	5400	4300

3. Распределить четыре сорта топлива, которое имеется в количествах 70, 40, 50, 40 т соответственно каждого сорта, между пятью агрегатами, потребности которых составляют 20, 40, 50, 60 и 40 т соответственно. Задана матрица теплообразовательной способности: , где С_ij -теплообразовательная способность і-го сорта топлива при использовании его в j-му агрегате. Найти оптимальное распределение топлива между агрегатами, при котором будет получено максимальное количество теплоты от всего запаса топлива.

4. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова - не меньше 15%, сурьмы - не меньше 15%, свинца - около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Элементы	Сплав
	1	2	3	4
Олово	12	20	12	20
Сурьма	12	18	18	14
Свинец	76	62	70	66
Цена за 1	3, 5	5, 2	4, 0	4, 6

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.