- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
Критерий оптимальности опорного плана
Если в индексной строке среди оценок оптимальности есть хотя бы одна положительная, то опорный план не является оптимальным.
Если в индексной строке все оценки оптимальности для небазисных переменных являются отрицательными числами, то опорный план является оптимальным и единственным.
Если в индексной строке небазисным переменным отвечают нулевые оценки, а среди оценок оптимальности нет положительных, то опорный план является оптимальным, но не единственным.
В нашем случае опорный план, соответствующий первой симплекс-таблице оптимальным не является.
Для перехода к следующей симплекс-таблице в М-строке выбирают наибольшую положительную оценку, начиная со столбца “р1”. В нашем случае – это число 8 в столбце “р1”.
|
Столбец, содержащий наибольшую положительную оценку, называется разрешающим. Он показывает, какой вектор следует ввести в базис. |
В нашем случае вектор “р1” следует ввести в базис.
Найдем симплексноеотношение оптимальности: элементы столбца “р0” разделим на положительные элементы разрешающего столбца.
|
Строка, соответствующая наименьшему отношению оптимальности , называетсяразрешающей. Она показывает, какой вектор следует вывести из базиса. |
В нашем случае . Таким образом, векторр7следует вывести из базиса. Кроме того векторр7можно исключить из рассмотрения, поскольку он является искусственным.
|
Генеральный элемент– это элемент, который расположен на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки. |
В нашем случае это число 7.
Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
все элементы разрешающей строки делят на генеральный элемент;
разрешающий столбец дополняют нулями;
если в разрешающей строке есть нули, то соответствующие столбцы переписывают без изменений;
все другие элементы рассчитывают с помощью метода прямоугольников: если г – генеральный элемент,с– старый элемент,аиb– элементы разрешающей строки и разрешающего столбца, то п– новый элемент находят по формуле:
-
а
с
г
b
Таким образом, вторая симплекс-таблица имеет вид:
Таблица 2.3.2
Вторая симплексная таблица
Базис |
С |
р0 |
– 1 |
– 4 |
0 |
0 |
0 |
М |
С.О. |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 |
р6 | ||||
р6 |
М |
4 |
0 |
34/7 |
–1 |
0 |
1/7 |
1 |
4/(34/7)=14/17 |
р4 |
0 |
5 |
0 |
6/7 |
0 |
1 |
1/7 |
0 |
5/(6/7)=30/7 |
р1 |
– 1 |
1 |
1 |
1/7 |
0 |
0 |
–1/7 |
0 |
1/(1/7)=7 |
z-строка |
– 1 |
0 |
27/7 |
0 |
0 |
1/7 |
0 |
| |
М-строка |
4 |
0 |
34/7 |
–1 |
0 |
1/7 |
0 |
|
Этой симплексной таблице соответствует опорный план:
x1= 1,x2= 0,x3 = 0,х4 = 5,x5 = 0,x6 = 4.
Он не является оптимальным, так как в М-строке есть положительные оценки.
По правилам, описанным выше, перейдем к третьей симплексной таблице:
Таблица 2.3.3
Третья симплексная таблица
Базис |
С |
р0 |
– 1 |
– 4 |
0 |
0 |
0 |
|
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 | ||||
р2 |
– 4 |
14/17 |
0 |
1 |
–7/34 |
0 |
1/34 |
|
р4 |
0 |
73/17 |
0 |
0 |
3/17 |
1 |
2/17 |
(73/17)/(3/17)=73/3 |
р1 |
– 1 |
15/17 |
1 |
0 |
1/34 |
0 |
–5/34 |
(15/17)/(1/34)=30 |
z-строка |
–71/17 |
0 |
0 |
27/34 |
0 |
1/34 |
|
В этой таблице отсутствует М-строка, поскольку искусственные векторы выведены из базиса, и в дальнейшем не рассматриваются.
Третьей симплексной таблице соответствует опорный план:
x1= 15/17,x2= 14/17,x3 = 0,х4 = 73/17,x5 = 0.
Он не является оптимальным, так как в z-строке есть положительные оценки.
Перейдем к четвертой симплексной таблице:
Таблица 2.3.4
Четвертая симплексная таблица
-
Базис
С
р0
– 1
– 4
0
0
0
р1
р2
р3
р4
р5
р2
– 4
35/6
0
1
0
7/6
1/6
р3
0
73/3
0
0
1
17/3
2/3
р1
– 1
1/6
1
0
0
–1/6
–1/6
z-строка
–47/2
0
0
0
–9/2
–1/2
Этой симплекс-таблице соответствует опорный план:
x1= 1/6,x2= 35/6,x3 = 73/3,х4 = 0,x5 = 0.
Он является оптимальным и единственным, так как в z-строке нет положительных оценок. Значение целевой функции min (–z) = – 47/2, значит,
max z= – min (–z) = 47/2.
Замечание.
Если в симплексной таблице есть две одинаковые положительные наибольшие оценки оптимальности, то выбирают любую.
Если в разрешающем столбце симплексной таблицы нет положительных чисел, то целевая функция является неограниченной на области допустимых решений ЗЛП, т.е. ЗЛП не имеет решений.
В последней симплексной таблице нет необходимости заполнять все клетки, а нужно только заполнить z-строку и столбец р0.