- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
3.1.2. Оценка качества моделей
а) Оценка силы взаимосвязи показателей YиX
коэффициент корреляции
Если между двумя величинами YиX существуетлинейнаярегрессия, то мы можем оценить степень, интенсивность связи между обеими величинами с помощью коэффициента корреляцииr.
, (3.1.8)
где ,.
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами X иY .
Свойства коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции изменяется на отрезке от -1 до 1, т.е. .
При r = корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость.
При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.
Выполнив преобразования в формуле (3.1.8), получим формулу (3.1.9) для вычисления коэффициента корреляции r:
. (3.1.9)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Чем ближе коэффициент корреляции к , тем теснее, интенсивнее связь междуXиY. Чем ближе он к 0, тем слабее исследуемая связь.
коэффициент детерминации
Одной из наиболее эффективных оценок силы взаимосвязи показателей является коэффициент детерминации.
Коэффициент детерминации равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений: фактическими и теоретическими значениями зависимой переменной и вычисляется по формуле (3.1.10):
. (3.1.10)
Чем ближе к единице значение коэффициента детерминации, тем теоретические значения более точно аппроксимируют фактические значенияу. Регрессионное уравнение оценено тем лучше, чем больше коэффициент детерминации (чем он ближе к единице).
Величина показывает на сколько процентов измененияYобусловлено изменениемX.
б) Оценка значимости уравнения регрессии
Проверка значимости уравнения регрессии состоит в установлении соответствия математической модели, выражающей зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.
Проверка гипотезы об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной
Вычисляем t-статистику по формуле (3.1.11):
(3.1.11)
которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам Стьюдента (приложение Д) по заданному уровню значимостии числу степеней свободынаходят табличное значение()-статистики. Если, то с заданной надёжностью 1-нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента при переменнойхв уравнении регрессии отвергают.
Замечание. |
Чаще всего уровень значимости выбирают 0,05, что означает |
Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции (проверка гипотезы )
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции (т.е. о том, что между наблюдаемыми переменными не существует линейной зависимости) принимают -статистику, вычисляемую по формуле (3.1.12):
, (3.1.12)
которая имеет распределение Фишера с 1 и степенями свободы. По таблицам Фишера (приложение Е) по заданной надёжности 1-и числу степеней свободынаходят табличное значение. Если, то с заданной надёжностью 1-гипотезу об отсутствии корреляционной связи между случайными величинамиXиYследует отвергнуть и принять альтернативную гипотезу о наличии зависимости между этими случайными величинами.
Замечание. |
Для парной регрессии , поэтому проверка значимости коэффициента корреляции эквивалентна проверке отличия от нуля коэффициента при переменнойх. |
в) Прогноз: построение доверительных интервалов