3.1.2. Оценка качества моделей

а) Оценка силы взаимосвязи показателей Y и X

• коэффициент корреляции

Если между двумя величинами Y и X существует линейная регрессия, то мы можем оценить степень, интенсивность связи между обеими величинами с помощью коэффициента корреляции r.

, (3.1.8)

где , .

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами X и Y .

Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции изменяется на отрезке от -1 до 1, т.е. .

2. При r = корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость.

3. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

Выполнив преобразования в формуле (3.1.8), получим формулу (3.1.9) для вычисления коэффициента корреляции r:

. (3.1.9)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Чем ближе коэффициент корреляции к , тем теснее, интенсивнее связь между X и Y. Чем ближе он к 0, тем слабее исследуемая связь.

• коэффициент детерминации

Одной из наиболее эффективных оценок силы взаимосвязи показателей является коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений: фактическими и теоретическими значениями зависимой переменной и вычисляется по формуле (3.1.10):

. (3.1.10)

Чем ближе к единице значение коэффициента детерминации, тем теоретические значения более точно аппроксимируют фактические значения у. Регрессионное уравнение оценено тем лучше, чем больше коэффициент детерминации (чем он ближе к единице).

Величина показывает на сколько процентов изменения Y обусловлено изменением X.

б) Оценка значимости уравнения регрессии

Проверка значимости уравнения регрессии состоит в установлении соответствия математической модели, выражающей зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

• Проверка гипотезы об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной

Вычисляем t-статистику по формуле (3.1.11):

(3.1.11)

которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам Стьюдента (приложение Д) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находят табличное значение ( )-статистики. Если , то с заданной надёжностью 1- нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента при переменной х в уравнении регрессии отвергают.

Замечание.

Чаще всего уровень значимости выбирают 0,05, что означает

• Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции (проверка гипотезы )

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции (т.е. о том, что между наблюдаемыми переменными не существует линейной зависимости) принимают -статистику, вычисляемую по формуле (3.1.12):

, (3.1.12)

которая имеет распределение Фишера с 1 и степенями свободы. По таблицам Фишера (приложение Е) по заданной надёжности 1- и числу степеней свободы находят табличное значение . Если , то с заданной надёжностью 1- гипотезу об отсутствии корреляционной связи между случайными величинами X и Y следует отвергнуть и принять альтернативную гипотезу о наличии зависимости между этими случайными величинами.

Замечание.

Для парной регрессии , поэтому проверка значимости коэффициента корреляции эквивалентна проверке отличия от нуля коэффициента при переменной х.

в) Прогноз: построение доверительных интервалов