1.5. Построение нормального закона

Для формирования нормального закона имеется две функции:

• Плотность вероятности

,

где ,- функция четная, значения функции– находят по таблицам (приложение В);

- среднее квадратическое отклонение:,

где ,.

, (1.5.1)

,– длина интервала.

• Функция вероятностей

,

где - функция нечетная, значения функциинаходят по таблицам (приложение Г)

,,- начало интервала,- конец интервала.

, (1.5.2)

.

Пример 1.3. В результате измерения диаметров у 150 деталей получен ряд отклонений от номинального размера. Проверить гипотезу о том, что данные отклонения подчиняются нормальному закону.

Отклонение от номинала	Частота
24,5 – 27,5	1	26
27,5 – 30,5	4	29
30,5 – 33,5	13	32
33,5 – 36,5	23	35
36,5 – 39,5	22	38
39,5 – 42,5	29	41
42,5 – 45,5	29	44
45,5 – 48,5	16	47
48,5 – 51,5	11	50
51,5 – 54,5	2	53
	150

Решение. Для нахождения среднего квадратического отклонения составим вспомогательную расчетную таблицу.

Таблица 1.8

Вспомогательная расчетная таблица

26	3	78	676	2028
29	6	174	841	5046
32	13	416	1024	13312
35	23	805	1225	28175
38	28	1064	1444	40432
41	32	1312	1681	53792
44	29	1276	1936	56144
47	14	658	2209	30926
50	2	100	2500	5000
	150	5883	-	234855

Имеем ,.

Тогда .

Сформируем функции

1. По формуле (1.5.1) - .

2. По формуле (1.5.2) - .

Таблица 1.9

Расчеты по плотности вероятности

26	3	-2,52	0,003179	1	2	0,50
29	6	-1,95	0,011365	5	1	0,20
32	13	-1,38	0,029362	13	0	0,00
35	23	-0,81	0,054808	25	3	0,12
38	28	-0,23	0,074101	33	29	0,88
41	32	0,34	0,071814	32	0	0,00
44	29	0,91	0,050291	23	41	1,78
47	14	1,48	0,026594	12	4	0,33
50	2	2,06	0,009116	4	4	1,00
	150	-	-	149	-	4,81

Имеем,,. По таблицам Пирсона (приложение А) находим. В результате.

Вывод: гипотеза о нормальном законе не отвергается.

Таблица 1.10

Расчет по функции вероятности

24,5–27,5	-2,81	-2,24	-0,4976	-0,4875	0,0101	2	2	1
27,5–30,5	-2,24	-1,66	-0,4875	-0,4515	0,036	5	0	0
30,5–33,5	-1,66	-1,09	-0,4515	-0,3621	0,0894	13	0	0
33,5–36,5	-1,09	-0,52	-0,3621	-0,1985	0,1636	25	2	0,08
36,5–39,5	-0,52	0,05	-0,1985	0,0199	0,2184	33	23	0,696
39,5–42,5	0,05	0,63	0,0199	0,2357	0,2158	32	0	0
42,5–45,5	0,63	1,20	0,2357	0,3849	0,1492	22	44	2
45,5–48,5	1,20	1,77	0,3849	0,4616	0,0767	12	6	0,5
48,5–51,5	1,77	2,34	0,4616	0,4909	0,0293	4	6	1,5
	-	-	-	-	-	148	-	5,776

Имеем ,,. По таблицам Пирсона (приложение А) находим. В результате.

Вывод: гипотеза о нормальном законе не отвергается.

б) Используем критерий Колмогорова.

Таблица 1.11

Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова

26	0,02	0	0,003179	0	0
29	0,04	0,02	0,011365	0,003179	0,016821
32	0,09	0,06	0,029362	0,014544	0,045456
35	0,15	0,15	0,054808	0,043906	0,102761
38	0,19	0,30	0,074101	0,098714	0,201286
41	0,21	0,49	0,071814	0,172815	0,313852
44	0,19	0,70	0,050291	0,244629	0,455371
47	0,09	0,89	0,026594	0,29492	0,598413
50	0,01	0,99	0,009116	0,321514	0,665153

По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику Колмогорова

.

Вывод:вероятность=1, по данному критерию использование закона вполне допустимо.

в) Используем критерий Ястремского.

Таблица 1.12

Проверка закона Пуассона по критерию Ястремского

3	1	0,003179	0,996821	4,012757
6	5	0,011365	0,988635	0,202299
13	13	0,029362	0,970638	0
23	25	0,054808	0,945192	0,169278
28	33	0,074101	0,925899	0,818206
32	32	0,071814	0,928186	0
29	23	0,050291	0,949709	1,648102
14	12	0,026594	0,973406	0,34244
2	4	0,009116	0,990884	1,0092
				8,202281

Таким образом, Q=8,2022. Посколькуk= 9,Z= 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:

А =.

Вывод:посколькуА< 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.

г) Используем критерий Романовского.

Поскольку = 5,776,q = 9 – 2 = 7, то по формуле (1.2.3) имеем

.

Вывод:величинаменьше 3 – значит, в соответствии с этим критерием гипотеза о законе Пуассона не отвергается.