Вспомогательная расчетная таблица
-
х
х2
у
ху
у2
15
225
2,2
33
4,84
17
289
2,25
38,25
5,0625
16
256
2,24
35,84
5,0176
13
169
2,1
27,3
4,41
18
324
2,9
52,2
8,41
19
361
3,1
58,9
9,61
11
121
1,9
20,9
3,61
10
100
1,85
18,5
3,4225
14
196
2,16
30,24
4,6656
9
81
1,68
15,12
2,8224
142
2122
22,38
330,25
51,8706
Замечание. |
Вспомогательную расчетную таблицу 3.1 удобно строить в пакете EXCEL. |
Система линейных уравнений Гаусса (3.1.2) в нашем случае примет вид:
Решив
эту систему, найдем коэффициенты
и
:
.
Тогда уравнение прямой линии регрессии у на х (3.1.1) примет вид:
у = 0,5633 + 0,1179х.
Найдем показатели тесноты связи показателя Y и фактора X.
Воспользовавшись формулой (3.1.9), найдем коэффициент корреляции:
Таким образом, r = 0,9073. Это значит,
что между переменными Х и Y
высокая степень взаимосвязи. Коэффициент
детерминации, найденный по формуле
(3.1.10), равен
.
Это означает, что регрессионное уравнение
оценено хорошо, так как
близок к единице, фактор Х на 82,32%
предопределяет изменение Y.
Для проверки гипотезы об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной вычислим t-статистику по формуле (3.1.11):
.
По таблицам Стьюдента (приложение Д) находим табличное значение ( )-статистики. t(0,05;8)=2,306. Так как наблюдаемое значение t-статистики больше критического, то гипотезу об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной следует отвергнуть.
Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции вычислим – статистику по формуле (3.1.12):
.
По таблицам Фишера (приложение Е) находим
табличное значение
Так как наблюдаемое значение F-
статистики больше критического, то
гипотезу о равенстве нулю коэффициента
корреляции следует отвергнуть. Коэффициент
корреляции значительно отличается от
нуля, поэтому между переменными Х
и Y существует линейная корреляционная
зависимость.
Для построения доверительных интервалов
для параметра
и коэффициента корреляции r , найдем
,
затем вспомогательные вычисления
проведем в таблице 3.2:
Таблица 3.2
Вспомогательные вычисления
|
|
|
|
|
|
|
15 |
0,8 |
0,64 |
2,3 |
2,36 |
-0,16 |
0,0256 |
17 |
2,8 |
7,84 |
2,25 |
2,6 |
-0,35 |
0,1225 |
16 |
1,8 |
3,24 |
2,24 |
2,48 |
-0,24 |
0,0576 |
13 |
-1,2 |
1,44 |
2,1 |
2,12 |
-0,02 |
0,0004 |
18 |
3,8 |
14,44 |
2,9 |
2,72 |
0,18 |
0,0324 |
19 |
4,8 |
23,04 |
3,1 |
2,84 |
0,26 |
0,0576 |
11 |
-3,2 |
10,24 |
1,9 |
1,88 |
0,02 |
0,0004 |
10 |
-4,2 |
17,64 |
1,85 |
1,76 |
0,09 |
0,0081 |
14 |
-0,2 |
0,04 |
2,16 |
2,24 |
-0,08 |
0,0064 |
9 |
-5,2 |
27,01 |
1,68 |
1,64 |
0,04 |
0,0016 |
|
|
105,6 |
|
|
|
0,3126 |
По формуле (3.1.16) имеем
.
Тогда доверительный интервал с 95% надежностью для параметра по формуле (3.1.15) имеет вид:
;
.
Полученный
доверительный интервал не содержит
нуля, поэтому можно говорить об отличии
параметра
от нуля.
Для нахождения доверительного интервала
для коэффициента корреляции
найдем
по формуле (3.1.18):
.
Коэффициент корреляции имеет следующий доверительный интервал, найденный по формуле (3.1.17):
;
.
Доверительный интервал для коэффициента корреляции говорит о высокой степеней линейной корреляционной связи между переменными.
Предположим, что количество торговых точек будет увеличено до 25, тогда х = 25. Подставив это значение в построенное уравнение прямой линии регрессии, получим:
- это ожидаемый
объем прибыли.
Для нахождения доверительного интервала
для прогнозного значения, вычислим по
формуле (3.1.14) величину
:
.
Найдем доверительный интервал для прогнозного значения по формуле (3.1.13):
;
.
Таким образом, при наличии 25 торговых точек объем прибыли будет от 3055 до 3966,6 тыс. гривен.
Замечание. |
Для построения регрессионной модели
и оценки силы взаимосвязи показателей
Y и X удобно использовать пакет
EXCEL. Для этого при нахождении уравнения
регрессии, в падающем меню Сервис
выбрать команду
Анализ данных
выбрать инструмент анализа Регрессия
в разделе Входные
данные в текстовом поле Входной
интервал Y ввести диапазон
для Y в разделе
Входные данные в текстовом поле
Входной интервал Х ввести
диапазоны для
|
в разделе Параметры вывода в опции
Новый рабочий лист установить
флажок.Результаты расчетов для данного примера с помощью пакета электронных таблиц EXCEL имеют вид:
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
Y |
X |
|
|
|
|
|
2,2 |
15 |
|
|
Регрессионная статистика |
|
2,25 |
17 |
|
|
|
Множественный R |
0,907318995 |
|
2,24 |
16 |
|
|
R-квадрат |
0,823227759 |
|
2,1 |
13 |
|
|
Нормир. R-квадрат |
0,801131228 |
|
2,9 |
18 |
|
|
Стандартная ошибка |
0,198554137 |
|
3,1 |
19 |
|
|
Наблюдения |
10 |
|
1,9 |
11 |
|
|
|
|
|
1,85 |
10 |
|
|
|
|
|
2,16 |
14 |
|
|
|
|
|
1,68 |
9 |
|
|
ANOVA |
|
|
|
|
|
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
1,468770038 |
1,46877003 |
37,255974 |
0,000288272 |
|
Остаток |
8 |
0,315389962 |
0,03942374 |
|
|
|
Итого |
9 |
1,78416 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
0,563314394 |
0,281461936 |
2,00138746 |
0,0803433 |
-0,08573841 |
1,212367202 |
Переменная X 1 |
0,117935606 |
0,019321773 |
6,10376721 |
0,0002883 |
0,073379488 |
0,162491724 |
На основании данных таблицы можно сделать такие выводы:
множественный коэффициент =0,907;
уравнение множественной регрессии
;
-статистика
37,26.
Сравнивая полученное значение с
,
найденным по таблице Фишера (
),
получим, что
,
т.е. уравнение регрессии значимо.
-статистика
для коэффициента
равна 6,104, для коэффициента.
Сравнивая
,
найденное по таблице Стьюдента t(0,05;8)
= 2,306, с
-статистикой,
получаем, что
-статистика
больше
.
Следовательно, коэффициенты
достаточно надежен.
доверительный интервал для параметра уравнения регрессии: (0,073;0,162).
Для наглядного представления изобразим графически данные примера, и прямую линию, соответствующую построенной модели.
Замечание. |
Удобно изображать графически данные в виде диаграмм, соответствующую им линию регрессии в пакете Excel. Для этого нужно войти в опцию Вставка в появившемся меню выбрать опцию Диаграмма в появившемся окне Мастер диаграмм в меню Тип выбрать опцию Точечная в появившемся окне указать рассматриваемый диапазон данных. Для изображения линии регрессии на точечной диаграмме активизировать одну из точек, правой кнопкой мыши вызвать меню, выбрать опцию Добавить линию тренда в появившемся окне Линия тренда во вкладке Тип выбрать в данном случае Линейная войти во вкладку Параметры и выбрать опцию Показывать уравнение на диаграмме, затем выбрать опцию Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). |
Рисунок
3.1 - Диаграмма уравнения прямой линии
регрессии Y на Х