- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
х |
18,4 |
25,6 |
27,9 |
30,8 |
32,8 |
35,3 |
38,5 |
45,6 |
34,7 |
23,9 |
19,3 |
у |
75,8 |
64,8 |
61,5 |
60,8 |
48,8 |
59,7 |
54,8 |
57,3 |
56,8 |
64,8 |
80,7 |
Решение. Для построения логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий рассчитаем вспомогательную таблицу
Таблица 3.3
Вспомогательная расчетная таблица
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
18,4 |
75,8 |
338,56 |
6229,50 |
114622,87 |
1394,72 |
25662,85 |
2,91 |
8,48 |
220,76 |
4,33 |
12,60 | |
25,6 |
64,8 |
655,36 |
16777,22 |
429496,73 |
1658,88 |
42467,33 |
3,24 |
10,51 |
210,12 |
4,17 |
13,53 | |
27,9 |
61,5 |
778,41 |
21717,64 |
605922,13 |
1715,85 |
47872,22 |
3,33 |
11,08 |
204,71 |
4,12 |
13,71 | |
30,8 |
60,8 |
948,64 |
29218,11 |
899917,85 |
1872,64 |
57677,31 |
3,43 |
11,75 |
208,39 |
4,11 |
14,08 | |
32,8 |
48,8 |
1075,84 |
35287,55 |
1157431,71 |
1600,64 |
52500,99 |
3,49 |
12,18 |
170,33 |
3,89 |
13,57 | |
35,3 |
59,7 |
1246,09 |
43986,98 |
1552740,29 |
2107,41 |
74391,57 |
3,56 |
12,70 |
212,76 |
4,09 |
14,57 | |
38,5 |
54,8 |
1482,25 |
57066,63 |
2197065,06 |
2109,80 |
81227,30 |
3,65 |
13,33 |
200,06 |
4,00 |
14,62 | |
45,6 |
57,3 |
2079,36 |
94818,82 |
4323738,01 |
2612,88 |
119147,33 |
3,82 |
14,59 |
218,88 |
4,05 |
15,46 | |
34,7 |
56,8 |
1204,09 |
41781,92 |
1449832,73 |
1970,96 |
68392,31 |
3,55 |
12,58 |
201,45 |
4,04 |
14,33 | |
23,9 |
64,8 |
571,21 |
13651,92 |
326280,86 |
1548,72 |
37014,41 |
3,17 |
10,07 |
205,67 |
4,17 |
13,24 | |
19,3 |
80,7 |
372,49 |
7189,06 |
138748,80 |
1557,51 |
30059,94 |
2,96 |
8,76 |
238,88 |
4,39 |
13,00 | |
332,8 |
685,8 |
10752,3 |
367725,34 |
13195797,04 |
20150,01 |
636413,56 |
37,12 |
126,04 |
2292,02 |
45,36 |
152,71 |
Для оценки параметров уравнения параболической функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.3):
Решив эту систему, найдем =142,83,= - 4,599,= 0,06. По формуле (3.1.2) уравнение параболической функции имеет вид:
.
Для оценки параметров уравнения логарифмической функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.5):
Решив эту систему, найдем =155,14,= - 27,5. По формуле (3.1.4) уравнение логарифмической функции имеет вид:
Для оценки параметров уравнения степенной функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.7):
Решив эту систему, найдем =5,54,= - 0,42. Откуда=254,87. По формуле (3.1.6) уравнение степенной функции имеет вид:
.
Для каждой из полученных моделей найдем индекс корреляции по формуле, -статистику по формуле (3.2.22), среднюю ошибку аппроксимации по формуле (3.1.23). Для адекватных моделей вычислим остаточную дисперсию по формуле (3.1.24). Результаты представим в таблице 3.4.
Таблица 3.4
Модель |
Уравнение |
R |
F |
Fкр |
|
|
параболическая |
|
0,93 |
22,41 |
4,74 |
3,96 |
3,88 |
логарифмическая |
|
0,85 |
20,83 |
4,46 |
5,27 |
0,65 |
степенная |
|
0,84 |
19,17 |
4,46 |
4,83 |
4,78 |
Сравнивая значения -статистики сFкр, можно сделать вывод о надежности индекса корреляции для соответствующих нелинейных моделей. Для построенных моделей можно сделать вывод, что все модели являются адекватными, поскольку средняя ошибка аппроксимации не превышает 5-7%, однако наилучшей является логарифмическая модель, которая имеет наименьшую остаточную дисперсию.