2.3. Векторное и смешанное произведения векторов

1) | c |=| a | | b | sin(a ,b) ;

2) вектор c ортогонален векторам a и b ;

c

3) тройка векторов a , b , c – правая.

b

Основные свойства векторного произведения:

1) [a ,b] = −[b ,a] ;

2) [λa ,b] =[a ,λb] = λ[a ,b];

a

3) [a ,b + c] =[a ,b] +[a ,c];

4) [a ,b] = 0 a и b

коллинеарны.

Рис.2.6

Если векторы a (x1 ; y1 ; z1),

b (x2 ; y2; z2 ) заданы координатами в ортонор-

Пример

2.8.

Найти

площадь

треугольника с

вершинами

A(2;−1;4) ,

B(3;1;6), C(6;2;9).

Р е ш е н и е.

Площадь треугольника ABC равна половине площади па-

раллелограмма,

построенного на векторах AB(1;2;2)

и AC (4;3;5) , поэтому,

согласно (2.13),

1

SABC

=

2

|[AB,

AC]|.

По формуле (2.12)

i

j

k

= 4i +3 j

[AB, AC] =

1 2 2

−5k .

4

3

5

Следовательно,

= 1

= 5

.

2

SABC

42 +32 + (−5)2

2

2

Смешанным произведением векторов a , b , c

называется число, обознача-

емое (a ,b ,c) и равное скалярному произведению вектора [a ,b] на вектор

c ,

т.е. (a ,b ,c) = ([a ,b],c) .

Основные свойства смешанного произведения:

1) ([a ,b],c) = (a

,[b ,c

]) ;

,c ,a) = −(c ,b ,a) = −(b ,a ,c) = −(a ,c ,b) ;

2) (a

,b

,c) = (c ,a ,b) = (b

3) (a

,b

,c) = 0 a , b

, c

компланарны;

4) (a

,b

,c) > 0 тройка векторов a , b

, c – правая.

Если векторы a (x ; y ; z ),

b (x ; y

; z

2

), c

(x ; y ; z ) заданы координатами

1

1

1

2

2

3

3

3

в ортонормированном базисе, то

x1

y1

z1

(a ,b ,c) =

x

y

2

z

2

.

(2.14)

2

x3

y3

z3

векторах a , b , c ,

Объем параллелепипеда, построенного на

может быть

найден по формуле

V =| (a ,b ,c) |.

(2.15)

Пример

2.9.

Доказать,

что

точки

A(1;2;3), B(2;4;1), C(1;−3;6)

и

D(4;− 2;3) лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е. Точки

A, B, C , D

лежат в одной плоскости тогда и только

5;3)

и

тогда, когда векторы AB

(1;2;− 2), AC (0;−

AD(3;− 4;0) компланарны, а

1

2

−2

= 0,

(AB, AC , AD) =

0

−5

3

3

−4

0

Р е ш е н и е. Объем пирамиды ABCD равен одной шестой объема парал-

лелепипеда,

,

построенного на векторах AB(2;3;1),

AC (−4;4;−1)

AD(4;4;−6) ,

поэтому, согласно (2.15),

1

VABCD =

6

| ( AB,

AC ,

AD) |.

Находим смешанное произведение:

2

3

1

= −156,

−4

4

−1

(AB, AC , AD) =

4

4

−6

следовательно, VABCD =

156 = 26.

6

Задачи для самостоятельного решения

π

.

2.47. Найти |[a

,b

]|, если | a

|= 2, | b |=

8, (a

,b) =

6

2.48. Найти |[a ,b]|, если | a |=1, | b |=10, (a ,b) =8.

2.49. Найти и построить вектор c =[a

,b], если:

а) a = 2i , b = 3k ;

б) a = i +

j , b

= i −

j ;

в) a = 3i + 2 j , b = 2 j +3k .

2.50. Найти

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a = 2i + k и b = j + 2k .

2.51. Доказать равенство: [2a +b ,a + 2b] = 3[a ,b].

2.52.

Найти

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a = 2 p + q и b = p +3q , где | p |=| q |=1, ( p,q) = π .

6

2.53. Известно, что |

p |=| q |= 5,

и ( p,q) =

π

. Найти площадь треугольни-

ка, построенного на векторах a = p − 2q и b

4

= 3p + 2q .

2.54. Дан

параллелограмм

ABCD .

Известно,

что

AC = 2 p − q ,

BD = 5 p − 4q , где | p |=| q |=1, и ( p,q) = π4 . Найти площадь параллелограмма.

2.55. Даны вершины A(1;− 2;8), B(0;0;4), C (6;2;0) треугольника. Найти

длину высоты треугольника, проведенной из вершины B .

2.56. Даны вершины A(3;−1;4), B(2;4;5), C (4;4;5)

треугольника. Найти

его площадь.

a = 2i − j −3k ,

2.57. Вычислить

смешанное

произведение

векторов

b = 4i + 7 j +5k и c = 6i

+8 + 4k .

a , b и

c . В случае неком-

2.58. Установить, компланарны ли векторы

планарности определить, правой или левой является тройка a , b

, c :

а)

a (1;−1;3), b (2;3;−1), c (1;9;−11);

б)

a (3;−1;2), b (2;1;−1), c (3;− 2;1);

в)

a (4;1;1), b (2;0;3), c (−6;2;− 4) .

2.59. При каком значении α векторы a (7;α;−13), b (1;− 2;1)

и c (3;1;− 2)

компланарны?

2.60. Определить,

лежат

ли

точки

A(1;2;−1), B(4;1;5), C (−1;2;1) и

D(2;1;3) в одной плоскости.

2.61. Найти

объем

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

a (1;5;−1), b (3;1;− 2), c

(−4;0;3).

2.62. Вычислить

объем

треугольной

пирамиды

с

вершинами

S (3;2;4), A(1;− 2;1), B(7;9;4), C (5;4;3) .

2.63. Даны вершины пирамиды: S (0;3;7), A(2;0;4), B(0;0;6), C (4;3;5) .

Найти длину ее высоты, проведенной из вершины S .

2.64. Объем параллелепипеда ABCDA B C D

равен

V

. Найти объем па-

раллелепипеда, построенного на векторах a

1 1 1

1

c

= AC , b

= AB ,

= AD .

1

1

2.65. Доказать, что какими бы ни были векторы a , b ,c ,

векторы a −b ,

b −c, c − a компланарны.

a , b , c ,

2.66. Доказать,

что

векторы

удовлетворяющие

условию

[a ,b] +[b ,c] +[c ,a

] = 0 , компланарны.

ния и умножения называется векторным пространством Rn .

Rn называется

Система векторов x , x , , x

векторного пространства

1

2

k

линейно зависимой, если существуют такие числа λ1,λ2, ,λk ,

хотя бы одно из

которых отлично от нуля, что выполняется равенство

λ1x1 + λ2 x2 + + λk xk = 0 .

(2.16)

Если же равенство (2.16) имеет место лишь при λ1 = λ2 = = λk = 0 , то

система векторов x1, x2, , xk

называется линейно независимой.

Отметим некоторые свойства линейно зависимых систем векторов:

1. Система векторов x1, x2, , xk

линейно зависима тогда и только тогда, когда,

а)

x1

= (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;0), x3 = (0;0;1;0), x4 = (2;3;1;0) ;

б)

x1 = (1;3;1),

x2 = (2;1;1), x3 = (1,−1,1);

в)

x1

= (1;3;1;3), x2 = (2;1;1;2), x3 = (3;−1;1;1).

Р е ш е н и е. а) Очевидно, вектор x4

выражается линейно через векторы

x1 , x2 , x3

следующим образом: x4 = 2x1 +3x2

+ x3 , следовательно, система линей-

но зависима.

б) Приравнивая компоненты векторов в левой и правой частях раве нства

λ x + λ

x

+ λ x = 0, получим систему линейных однородных уравнений:

1

1

2

2

3

3

+ 2λ2 + λ3 = 0,

λ1

(2.17)

3λ1 + λ2 −λ3 = 0,

λ + λ

2

+

λ

3

= 0.

1

Определитель системы

1

2

1

4

4

0

= −1 (−1)5

4 4

= −4 ≠ 0 ,

∆ =

3 2 −1

=

3 2 −1

1

1

1

4

3

0

4

3

следовательно,

система

(2.17)

имеет единственное

решение

λ = λ

2

= λ

3

= 0, и система векторов

x

, x

, x

линейно независима.

1

1

2

3

в) Так же, как в пункте б), составим систему уравнений

λ1 + 2λ2 +3λ3 = 0,

3λ

+

λ

2

−

λ

3

= 0,

1

(2.18)

λ

+

λ

2

+

λ

3

= 0,

1

3λ

1

+

2λ

2

+ λ

3

= 0.

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду

λ

1

+

2λ

2

+3λ

3

= 0,

λ2 + 2λ3 = 0.

Ранг векторного пространства Rn называется размерностью простран-

ства и равен n .

Базисом системы векторов называется упорядоченная совокупность r

линейно независимых векторов данной системы, где r

– ранг системы.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть e

,e

, ,e – базис системы векторов. Каждый вектор

x

1

2

r

данной системы можно представить, и притом единственным образом, в

виде линейной комбинации векторов базиса:

x = x1e1 + x2e2 + xrer .

(2.19)

3

−1

0

= 22 ≠ 0,

2

3

1

−1

4

3

Поскольку

x

=1 x

+ 0 x

+ 0 x

,

1

1

2

3

x

= 0 x

+1 x

+ 0 x

,

2

1

2

3

x

= 0 x

+ 0 x

+1 x

,

3

1

2

3

то в базисе x

, x ,

x имеем:

x (1;0;0), x (0;1;0), x

(0;0;1) .

1

2

3

1

2

3

Для того, чтобы найти координаты вектора x

в базисе x ,

x

, x , распи-

шем равенство x

=α x

+ β x

+γ x

4

1

2

3

покоординатно:

4

1

2

3

3α + 2β −γ

= 2,

3β + 4γ = 3,

−α +

β + 3γ = 7.

x

Решив полученную систему, найдем α = 3, β = −2, γ = 3, т.е.

(3;− 2;3) в

базисе x , x , x .

4

1

2

3

, y

y

, y

б) Составим из компонент векторов y

2

,

4

системы матрицу и при-

ведем ее к ступенчатому виду:

1

3

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

2 1 2

−1 3 2 1

0 5 3 3

0 5 3 3

A =

0 5 3 3

.

4 3 3 5

0

−5 −1

−3

0 0 2 0

0

0 1 0

2 −1

0 1

−5 −2

0

−3

0 0

1 0