- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
|
|
|
|
|
|
1+ x + x |
− |
7 + 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5.61. lim |
|
|
|
|
.5.62. |
lim |
|
|
|
|
|
3x +17 |
|
2x +12 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+8x +15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5.63. lim |
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.64. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
−2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2x2 |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.65. lim |
|
|
x4 −2x −1001 |
. |
|
|
|
5.66. |
lim |
|
|
|
|
3x2 |
|
−2x3 − x +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x4 − x2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
4x3 +3x2 +7x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.67. lim |
|
2x4 |
+3x2 |
|
+5x −6 |
. |
5.68. |
lim |
|
|
|
|
|
|
(2x3 + 4x +5)(x2 + x +1) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
+3x2 |
+7x |
−1 |
|
(x + 2)(x4 + 2x3 +7x2 + x −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.69. lim(3 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.70. |
|
|
|
x2 |
|
+ ax +b |
x2 +cx + d |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.71. lim(sin |
|
|
|
−sin |
|
). |
5.72. |
lim |
|
2x |
+3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
2x |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.73. lim |
1+7x+2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.74. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 −7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.75. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
5.76. |
lim |
|
|
|
2x2 −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→ 4 |
|
ctg |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.77. lim |
|
|
|
|
|
|
|
− x . |
|
|
|
|
|
5.78. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
+1 |
|
5x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. Замечательные пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Первый замечательный предел: |
lim sin x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Второй замечательный предел: |
lim |
|
|
|
+ |
1 |
= lim(1+ y) |
y |
= e . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 5.12. Вычислить следующие пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) lim sinαx |
, α R ; |
|
|
2) lim sin 2x ; |
|
|
3) |
|
|
lim tg x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
190
|
arcsin x |
|
|
cos x |
|
3x + 2 |
5x−1 |
|
4) lim |
x |
; |
5) lim |
|
; 6)lim |
3x +7 |
. |
|
2x −π |
||||||||
x→0 |
|
x→0 |
x→∞ |
|
||||
Р е шен и е : 1) имеем неопределенность вида |
0 . Умножим числитель и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
знаменатель дроби на число α , чтобы воспользоваться первым замечатель-
ным пределом: |
|
lim sinαx |
= lim |
α sinαx =α lim sinαx . |
Произведя в послед- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x→0 |
|
|
αx |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
αx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нем выражении замену |
y =αx, |
получим α lim sinαx |
=α lim sin y =α . Итак, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim sinαx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
αx |
|
|
y→0 |
y |
|
|
||
=α ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) опять имеем неопределенность вида |
|
0 . Разделим числитель и знамена- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тель дроби на x , после чего воспользуемся результатом пункта 1) данного при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мера: lim sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
lim |
sin 2x |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 sin 3x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3) lim |
tg x |
= |
|
0 |
|
= lim |
1 |
|
|
sin x |
= lim |
1 |
|
lim |
sin x |
= |
1 1 =1; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
cos x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
cos x x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4) сделаем замену arcsin x = y . Тогда x = sin y и y → 0 при x → 0, по- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому lim |
arcsin x |
|
|
0 |
|
= lim |
|
|
y |
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
0 |
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
− x |
|
и |
2x |
−π |
|
|
π |
|
|
→ 0 при x → |
π |
, |
|||||
|
5) замечая, что cos x = sin |
2 |
|
|
= −2 |
2 |
− x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сделаем замену |
|
π |
− x = t , |
|
|
чтобы свести предел к первому замечательному: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos x |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x −π |
0 |
|
−2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) здесь имеет место неопределенность вида 1∞ . Сведем данный предел ко второму замечательному пределу:
191
|
3x + 2 5x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
5x−1 |
|
|
|
|
+ |
3x + |
2 −3x −7 5x−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1+ |
|
3x +7 |
−1 |
|
|
|
= lim 1 |
|
3x +7 |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ |
3x +7 |
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
5x−1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+7 |
|
−5 |
(5x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+7 |
|
|
( |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
5x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
3x+7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
3x+7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
3x +7 |
|
|
|
|
3x + |
7 |
|
|
|
|
|
3x +7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
|
|
|
|
имеет |
|
своим |
пределом |
|
ноль |
при |
x → ∞, |
|
поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x +7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
3x+7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
25x + |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
= e . Учитывая далее, что lim |
|
|
|
(5x −1) = lim |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
3x +7 |
|
|
|
3x + |
7 |
|
3x +7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||||||
= − |
25 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
5x−1 |
= e |
− |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
окончательно получаем lim |
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Полезно помнить часто используемые следствия из обоих замечательных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim tg x |
=1; |
lim arcsin x =1; |
lim arctg x =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
loga (1+ x) |
= |
|
1 |
|
= loga e , где a > |
0 , a ≠1, в частности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim ln(1+ x) |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
ax −1 |
= ln a , где a > 0 , в частности lim |
ex −1 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim |
(1+ x)m −1 |
= m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 5.13. Вычислить следующие пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) lim |
ln(2 − x) −ln 2 |
; |
2) lim |
eαx −1 |
; |
3) lim |
eαx −e |
βx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Р е шен и е : 1) для данной неопределенности вида 0 |
преобразуем выра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жение, стоящее под знаком предела так, чтобы воспользоваться одним из следствий из второго замечательного предела:
192
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
lim ln(2 − x) −ln 2 = lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1+ |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
после чего, обозначая − |
|
= t , получим равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln 1+ |
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln(1+t) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
lim ln(2 − x) −ln 2 |
= 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) lim |
eαx −1 |
|
|
0 |
=α lim |
eαx −1 |
= |
|
αx = y |
|
|
=α lim |
ey −1 |
=α . Здесь мы |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
= |
|
|
|
αx |
|
|
|
|
y → 0 |
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
→0 |
|
также воспользовались одним из следствий из второго замечательного предела;
|
3) |
для |
|
данной |
неопределенности |
вида |
|
0 |
справедливы |
равенства |
|||||||||||
lim eαx −eβx |
= limeβx e(α−β ) x −1 |
= limeβx lim e(α−β ) x −1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
. |
|
Воспользовавшись далее |
|||||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 |
|
x |
x→0 |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
результатом |
|
пункта |
2) |
данного примера, |
|
|
окончательно |
получим |
|||||||||||||
lim |
eαx −eβx |
=1 1 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||
|
Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.79. lim |
sin x |
; |
|
|
|
|
|
5.80. lim |
|
sin2 2x |
; |
|
|
|
|||||||
tg9x |
|
|
|
|
|
arcsin2 3x |
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||
5.81. lim |
1−cos 2x ; |
|
|
5.82. lim |
1−cos6x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
3x tg 3x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.83. lim |
1−cos5x |
; |
|
|
5.84. lim1+ xsin x −cos x |
; |
|
||||||||||||||
|
x→0 |
1−cos3x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
sin2 x |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
; |
|
|
||||
5.85. lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
5.86. lim |
|
1+ xsin x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
3 1+ x |
−1 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
193
5.87. lim tg x −3sin x ;
x→0 x
5.89. lim1−6x ;
x→0 1−ex
5.91. lim sin 2x ; x→0 ln(1+ x)
5.93. limt(t |
|
−1) , a > 0 ; |
a |
||
t→∞ |
|
|
5.95. lim x +8 x ; x→∞ x −2
5.97. lim 2x2 +3 5x2 ; x→∞ 2x2 −3
1−x
5.99. lim(1−4x) x ;
x→0
1
5.101. lim x x−2 ; x→2 2
1
5.103. lim 3 +5x x ; x→0 3 + 2x
5.105. lim 3x2 −6x +7 −x+1 ; x→∞ 3x2 + 20x −1
5.107. lim(3x −1)[ln(x −3) −ln x];
x→∞
5.109. lim |
ax −a |
; |
|
|||
x −1 |
|
|
||||
x→1 |
|
|
|
|||
5.111. lim |
loga x −1 |
; |
||||
x −a |
||||||
x→a |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
5.113. lim |
xx −1 |
; |
|
|
||
x ln x |
|
|
|
|||
x→1 |
|
|
|
5.88. lim lg(1+3x) ;
x→0 x
5.90. lim |
8x |
−7x |
; |
|
|
||
6x |
−5x |
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
||||
5.92. lim sin 3x −sin x |
; |
||||||
x→0 |
|
ln(x +1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.94. lim |
6x |
−3x |
; |
|
|
||
|
x2 |
+ x |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|||
|
|
3x −1 |
2 x |
|
|||
5.96. lim |
3x +1 |
|
; |
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|
|||
|
5x3 + 2 |
2 x3 −1 |
|||||
5.98. lim |
5x |
3 |
|
|
; |
||
x→∞ |
|
|
|
|
5.100. lim x + a x+c ; x→∞ x +b
5.102. lim 2 x 1+3x ;
x→0
|
|
5 |
− x x+2 |
|
|||
5.104. lim |
6 |
|
; |
|
|||
x→∞ |
|
− x |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5.106. lim |
|
|
ln |
2 + x |
; |
||
|
2x |
2 − x |
|||||
x→0 |
|
|
|
|
5.108. lim x(ln(a + x) −ln x) ; |
|
x→∞ |
|
5.110. lim ln x −1 |
; |
x→e x −e |
|
1
5.112. lim(1−sin x)sin x ;
x→0
5.114. lim(2 −cos x)cosec2 x ;
x→0
194