Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

403

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

6.29. y = cos2 x ;

6.30. y =

;

1−2x

6.31. y =

2x −1

;

6.32. y =

sin x

;

2 + x +1

x2 +1

cos x

6.33.

y =

;

6.34. y =

;

1+sin x

6.35.

y =

2x −1

;

6.36. y =

x ln x

;

2x +1

x2 +

6.37.y = x2 cos x log2 x .

Найти значение производной функции в указанной точке x0 .

6.38. y = (1+3

)2 ,

x0 =1;

6.39. y = (x + 2)sin x ,

x0 = 0;

6.40. y = cos x −

+1, x0 = π ;

6.41. y =

−4

x0 =1;

x2 +1

6.42. y =

−

3 ,

x0 = 3;

6.43. y =

x +1

= 3;

x2 −5

6.44. y = 4 3

6.45. y = (x2 −3x + 2)ex , x0 = 0.

= −8;

6.2. Производная сложной функции

Пусть

y = f (ϕ(x)) – сложная функция. Если

промежуточная функция

u =ϕ(x) имеет производную в точке

x0 , а функция

y = f (u)

имеет производ-

ную в точке

=ϕ(x0 ), то функция

y = f (ϕ(x))

имеет производную в точке

x0 , и y′(x0 ) = f ′(u0 ) ϕ′(x0 ) , или y′x =

yu′ u′x .

Пример 6.4. Найти производную функции y = sin3 (2x +1) .

Р е ш е н и е. Пусть y = u3 , где u = sin(2x +1) . Тогда

y′ = (u3 )′ u′ = 3u2 u′= 3sin2 (2x +1) (sin(2x +1))′.

(sin(2x +1))′ =

Обозначим,

sin(2x +1) = sin v ,

где v = 2x +1.

Тогда

=(sin v)′ v′ = cosv v′

= cos(2x +1) (2x +1)′ = 2cos(2x +1) .

Окончательно, y′ = 3sin2 (2x +1) 2cos(2x +1) = 6sin2 (2x +1) cos(2x +1).

Пример 6.5. Найти производную функции y = ln(x2 +3x +5). Р е ш е н и е. Пусть y = ln(u), где u = x2 +3x +5.

219

1	(x2 +3x +5)′		2x +3
y′ = (ln u)′ u′ = u u′ =	x2 +3x +5	=		.
			x2 +3x +5

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций.

6.46. y = sin 3x ;

6.47. y = cos(a −bx) ;

6.48. y =

;

6.49. y = 3

(2x +3)2

;

5x −1

6.50. y = ln(6x +5) ;

6.51. y = arccos(3x −1) ;

6.52. y = ctg(3x) ;

6.53. y = 2x + 2−x ;

6.54. y = ln3 x ;

6.55. y =

(x2 +1)

;

6.56. y = e2x−x2 ;

6.57. y =10sin x ;

6.58. y = e−x2 ;

6.59. y = x e−x2 ;

6.60. y = (2x + 4)6 ;

6.61. y = arcsin3 (

);

1+ x

6.62. y = ln(x + 4 + x

;

6.63. y = ln

1− x

6.64. y = cos3x e2x ;

6.65. y = 3cos2 x ;

6.66. y = cos(10x +10−x );

6.67. y = sin2 x ;

cos3 x

6.69. y = sin4 x +cos4 x;

6.68. y = x

x2 +1

;

6.70. y = 3

;

6.71. y = (x2 −2x +3)4 ;

1+cos6x

6.72. y =

;

6.73. y = sin(e3x );

2x −sin 2x

6.74. y = tg(cos 2x);

6.75. y = 5arccos(3x) ;

;

6.77. y = ctg(x cos x);

6.76. y = e

x2 +x+2

6.78. y = 3x ln x ;

6.79. y = ln

e2x

;

4 +e2x

6.80. y = arctg(ctg(x2 +1));

6.81. y = lg(x2 −cos x);

220

6.82. y = sin2

sin 4x ;

6.83. y = 32x ;

6.85. y = ln(x2 −4x);

6.84. y = A e−bx cos(kx + p);

6.86. y =

cos3x

;

6.87. y = ln sin3 x ;

e2x +ex

6.88. y = log2 ln x ;

6.89. y = arctg3 1

;

6.90. y =

1−tg 2

;

6.91. y = arctg

1+ x

;

1− x

6.92. y = x2

;

6.93. y = 3 2 + x

;

x +1

6.94. y = arccos(

);

6.95. y = ln(ex cos x +e−x sin x);

1−2x

6.96. y = ex sin2 x cos x ;

6.97. y = x

1+ x2

cos x ;

6.98.y = ln cos arctg ex +e−x .

6.3Логарифмическая производная и производная неявной функции

Логарифмической производной функции y = f (x) называется производ-

	′		′
			f (x)
ная от логарифма этой функции, т.е. (ln f (x))		=		.
			f (x)
Функция y = f (x)	задана неявно	уравнением F(x; y) = 0 , если
F(x, f (x)) = 0 для всех x	из некоторого интервала. Для вычисления производ-

ной функции заданной неявно необходимо продифференцировать по x уравнение F(x; y) = 0 , считая y функцией от x , и из полученного уравнения выразить

производную y′.

Пример 6.5. Найти производную функции y = f (x)g (x) .

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию z = ln y = ln f (x)g (x) = g(x) ln f (x) .

Так как z′ =	y′	, имеем y′ = y z′. С другой стороны, z = g(x) ln f (x)	и
	y

				f	′
z	′	′			(x)
				f (x) .
		= g (x) ln f (x) + g(x)
Следовательно,			y′ = f (x)g (x)
						g′(x)

	f	′
ln f (x) + g(x)	f	(x)	.
ln f (x) + g(x)	f (x)		.
	f (x)

221

Пример 6.6. Найти производную функции y = xcos x . Р е ш е н и е. Рассмотрим z = ln y = cos x ln x

z′ = (cos x

′

;

y′ = y

z′ = x

cos x cos x

ln x) = −sin x ln x +cos x

−sin x ln x .

Пример 6.7. Найти производную функции y , заданной неявно уравнени-

ем x3 + y3 −2xy = 0, в точке M (1; 1) .

Р е ш е н и е. Продифференцируем равенство x3 + y3 −2xy = 0 по x , счи-

тая y функцией от x :

3x2 +3y2 y′−2y −2xy′ = 0 .

y′:

y′(3y

−2xy)=

, y′ =

2y −3x2

Выразим из этого равенства

2y −3x

3y2 −2x

Чтобы получить значение производной в точке M (1; 1)

необходимо подставить

в полученное выражение x =1, y =1:

′

2 −3

y (1) = 3 −2 = −1.

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций.

6.99.

y = (x2 +1)3x ;

6.100. y = (sin x)cos x ;

6.101.

6.102. y = xln x ;

y = (x +1)x ;

6.103. y = (tg2x)2x ;

6.104. y = (ctg3x)x2 −x ;

6.105. y = (x)x4 ;

6.106. y = 2x

;

6.108. y = (x + 2)3

6.107. y =x3 ex sin 3x

;

x2 + x +1

;

x2 + 4

(2x −1)2

6.110. y = (x)2x3x .

x2 cos x

;

6.109. y =

1+ex

Найти производные функций, заданных неявно.

6.111. y2 −4y = 4x2 ;			6.112. 4 + xey − 2y = 0;
6.113. y + x = arctgy ;			6.114. x sin y +cos y = x2 ;
6.115. x3 − x2 y + xy2 + y3 = 0 ;			6.116. 2y ln y = x2 ;
6.117. cos y − y = x;			6.118.	x + y	=1;

				2x − y
6.119.		= x −2y .
	xy

222

Найти производные функций, заданных неявно, в указанных точках.

6.120. x2 + y2

= 4ex , M1(0; −2), M 2 (0; 2).

6.121. x2

+ y2

= 8 ,

M1(2; 2),

M 2 (− 2; 2).

6.122.

= 4,

M (1; 9).

3 3

6.123.

=1,

M 1;

6.124. x3 +3y2 =10xy ,

M (3;1).

6.125. x2

− y3

= 3, M (2;1).

6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков

Геометрический смысл производной функции y = f (x) в точке x0 за-

ключается в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику функции в точке			(x0 , f (x0 )), т. е. f ′(x0 ) = k = tgα , где
α – угол наклона касательной.
Тогда уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x)					в
точке x0	имеют, соответственно,		вид:	y − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ) ,	и
y − f (x0 ) = −	1	(x − x0 ) .
	f ′(x0 )

Если графики функций y = f (x) и y = g(x)				пересекаются в точке x0 ,	то

угол, образуемый графиками функций в данной точке, определяется как угол между касательными в этой точке к графикам данных функций.

В механике, если обозначить s(t) – путь, пройденный телом за время t

при прямолинейном движении, производная	′	∆s(t0	, ∆t)	определяет
	s (t) = lim	∆t
	∆t→0

скорость v(t0 ) тела в момент времени t0 , т. е. v(t0 ) = s′(t0 ).

Производной второго порядка или второй производной функции y = f (x) называется производная от ее первой производной (y′)′. Обозначается вторая

′′	f	′′	d 2 y
производная следующим образом: y ,	f	(x),	dx2 .

Производной n-го порядка функции y = f (x) называется производная от производной (n–1)-го порядка данной функции. Обозначается производная n-го

порядка следующим образом: y(n) , f (n) (x), ddxn ny . Таким образом, y(n) = (y(n−1) )′.

223

При прямолинейном движении точки по закону s = s(t) вторая производная s′′(t) – есть ускорение точки в момент t .

Пример 6.8. Найти угловой коэффициент касательной к параболе

y= x2 −2x +3 а) в точке (2; 3); б) в точке (–1; 6).

Ре ш е н и е. Так как f ′(x0 ) = k , найдем производную y′ = 2x −2 и подставим соответствующее значение x0 .

а)

′

k = y (2) = 4 −2 = 2 ;

б)

′

k = y (−1) = −2 −2 = −4 .

Пример

6.9.

В каких

точках касательная

графику функции

y = x2 + x + 2 а) образует с осью Ox угол 45 ; б) параллельна оси Ox .

Р е ш е н и е.

а) Если касательная образует угол

с осью Ox ,

то

k = tg45

=1 с

одной

стороны

′

другой.

Следовательно,

и k = y (x) = 2x +1 с

2x +1 =1, x = 0 .

б)

Если касательная параллельна оси Ox , то ее угол наклона равен 0

= tg

′

x = −

= 0 . Так как k = y (x) = 2x +1, получим 2x +1 = 0,

2 .

Пример 6.10. Расстояние s (в метрах), пройденное телом за время t (в секундах) определяется законом s(t) = t 2 +3t +1. Найти скорость тела в момент времени t =1, t = 4, t =10с, и среднюю скорость за период времени от 1 до 10 с.

Р е ш е н и е. Скорость

′

2t +

3 .

v(1) = 5, v(4) =11, v(10) = 23.

v(t) = s

(t) =

Средняя

скорость за промежуток от

1 до

с. Может

быть найдена как

s(10) − s(1)

= 131−5

=14 м/с.

10 −1

Пример 6.11. Найти третью производную функции y = ln(2x +3)

в точке

x = 0.

Р е ш е н и е. Найдем y′ =

2 (2x +3)

−1

2x +3

Далее y′′ = (2 (2x +3)−1 )′ = 2 (−1) (2x +3)−2 2 = −22 (2x +3)−2 ;

y′′′ = (−4 (2x +3)−2 )′ = 8 (2x +3)−3 ;

′′′

−3

y (0) = 8 3

Пример 6.12. Найти вторую производную функции

x2 + y2 = 4

в точке

C(1;

2x + 2y y′ = 0 ,

Р е ш е н и е. Найдем первую производную. Получим,

′

= − y

Еще раз дифференцируем полученное соотношение: 2 + 2y′ y′+ 2y y′′ = 0

224

Выразим вторую производную: y′′ = − (y′)2 +1 = − x2 +3 y2 , y y

y′′(1) = −13+33 = −343 .

Задачи для самостоятельного решения

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке x0 .

6.126. y = 2x2 −3x +1,

= 2 ;

6.127. y = 3sin 2x

, x0

= π

;

2x −3

6.128. y = 5ln(1+ x2 ) ,

= 2 ;

6.129. y =

=1.

x +1

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x)

в данной точке x0 .

6.130. y = x2 −5x + 4 ,

= −1;

6.131. y =

, x0

= 4 ;

6.132. y = ln x, x0 =1;

1−x2

, x0 = −1.

6.133. y = e

6.134. Под каким углом график функции

y = sin x пересекает ось Ox ?

6.135. Под каким углом пересекаются кривые 2y = x2

и 2y = 8 − x2 ?

6.136. Найти углы, образованные графиком функции y = 4x − x2

и осью Ox в

точках их пересечения.

В каких точках касательная к графику функции

y = f (x)

параллельна

указанной прямой y = kx +b ?

6.137. y = 4x + x2 +1,

y = 8x −1;

6.138. y = 2ln(x2 + 2) ,

y = x −3;

6.139. y = 63x2 , y = 4x +1.

6.140. Зависимость пути s , пройденного телом за время t определяется законом s(t) = t3 −3t 2 + 2t +1, где время измеряется в секундах, а путь в метрах.

Найти скорость тела в момент времени t =1, t = 3с. И среднюю скорость за промежуток времени от 1 до 3 с.

6.141. Закон движения материальной точки s(t) = t 2 +3t +1. В какой м о- мент времени ее скорость будет равна 15 мс ?

6.142. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = t3 −12t 2 + 45t +3. В какие моменты времени тело меняет направление движения?

Найти производные второго порядка от данных функций в точке x0 .

6.143. y = arctgx , x0 =1;

225

6.144.

y = e−x2 ,

x0 = 0;

6.145.

y = sin2 x ,

= π ;

6.146.

y = x2 ln x,

=1.

Найти производные второго порядка от функций в указанных точках.

6.147. x2 − xy + y2

=1, M (1; 0) ;

6.148. e y

+ y − x = 2 ,

M (−1; 0) .

6.149.

Показать,

что функция

y = C e2x +C

e−2x

удовлетворяет уравнению

y′′−4y = 0 при любых значениях постоянных C1, C2 .

Найти производные третьего порядка в точке x0 .

π ;

6.150. y = e3x+2 ,

= 0;

6.151. y = sin 2x , x0 =

6.152. y = ln 3x ,

6.153. y = 3

=1;

1+ 2x

, x0

= 0.

Найти производные n-го порядка указанных функций в точке x0 = 0.

6.155. y = x3 −2x2 + 4x +6 ;

6.156. y = x4 +1;

6.157. y = ex ;

6.158. y = sin x ;

6.159. y = cos x ;

6.160. y = ln(1+ 2x) ;

6.161. y = 4

1− x

6.5.Дифференциал функции. Применение дифференциала

кприближенным вычислениям

Если функция y = f (x) имеет конечную производную в точке x0 , то

приращение функции в этой точке можно представить в виде:

∆y(x0 , ∆x) = f ′(x0 ) ∆x +α(∆x) ∆x (1),

где α(∆x) → 0 при ∆x → 0 . Главная, линейная относительно ∆x , часть приращения f ′(x0 ) ∆x называется дифференциалом функции и обозначается dy или df (x) . Так как dx = ∆x , можем записать dy = f ′(x) dx .

Если f ′(x0 ) ≠ 0 , то при ∆x → 0 из формулы (1) получаем приближенное равенство ∆y(x0 , ∆x) ≈ f ′(x0 ) ∆x = dy , из которого следует формула, использу-

емая для вычисления приближенных значений функций:

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 ) ∆x (2).

Геометрический смысл дифференциала состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной к графику функции y = f (x) в точке

(x0 ; f (x0 )) при заданном приращении аргумента ∆x (рис. 6.2),

226

f (x0 + ∆x) •

y = f (x)

•

∆y

f (x0 ) •

•

∆x

•

x0 + ∆x

Рис. 6.2

т.е.

dy = tgα ∆x = f ′(x0 ) ∆x .

Пример 6.13. Дана функция y = x2 +3x +1. Найти приращение функции

и ее дифференциал в точке x0

= 4 при ∆x равном: а) 1; б) 0,5; в) 0,1. В каждом

случае найти значение ∆y −dy .

Р е ш е н и е. Найдем приращение и дифференциал функции в произволь-

ной точке x0 :

∆y(x0 , ∆x) = ((x0 + ∆x)2 +3(x0 + ∆x) +1)−(x02 +3x0 +1)= (2x0 +3) ∆x +(∆x)2 ,

dy = (2x0 +3) ∆x , ∆y −dy = (∆x)2 ,

т. е.

разность между дифференциалом и

приращением в данном случае равна квадрату приращения аргумента и стре-

мится к нулю при ∆x → 0 .

В точке x0 = 4 , ∆y(4, ∆x) =11 ∆x +(∆x)2 , dy =11 ∆x .

В случае ∆x =1, получим ∆y =12 ,

dy =11,

∆y −dy =1.

При ∆x = 0,5, получим ∆y = 5,75, dy = 5,5,

∆y −dy = 0,25.

При ∆x = 0,1, получим ∆y =1,11, dy =1,1, ∆y − dy = 0,01.

Пример 6.14. Найти дифференциал функции y = sin

в точках x0 = 0,

x0 =

π ,

x0 = π .

Р е ш е н и е. Найдем дифференциал функции в произвольной точке x0 .

Найдем

f ′(x0 ) = 2 sin x0 cos x0

1 sin x0 . Следовательно,

dy = 1 sin x0 dx .

При x0

= 0, dy = 0 dx = 0 , при x0

= π

, dy = 1 dx

, при x0 =

, dy = 1 dx .

Пример 6.15. Найти приближенно значение sin 28 .

Р е ш е н и е. Так как sin 30 = 0,5 ,

возьмем в качестве x0 угол 30 . Тогда

227

∆x = 28 −30 = −2 . Необходимо градусную меру угла перевести в радиан-

ную. ∆x = −2 180π ≈ −0,034.

В силу формулы (2), sin 28 ≈ sin 30 + dy . Вычислим dy .

Рассматриваемая

функция y = sin x ,

dy = cos x dx . При

π dx =

dy = cos

dx .

Подставляя

dx = ∆x = −0,034,

получим

dy =

(−0,034) ≈ −0,029 . Окончательно, sin 28 ≈ 0,5 −0,029 = 0,471.

Задачи для самостоятельного решения

6.162. Дана функция y = x2 + 2x . В точке x0 = 2 вычислить ∆y и dy при ∆x равном: а) 0,5; б) 0,1; в) 0,04. В каждом случае найти значение ∆y −dy .

6.163. Какое приращение получает функция y = 3x2 − x при переходе независимой переменной от значения x0 =1 к значению x =1,04. Найти соответствующее значение дифференциала этой функции и ∆y −dy .

6.164. Дана функция y = x3 − x . В точке x0 = 2 вычислить значение ∆y и dy при ∆x =1, ∆x = 0,1, ∆x = 0,01. В каждом случае найти ∆y −dy .

6.165. Доказать, что для линейной функции y = ax +b приращение ∆y и дифференциал dy равны.

6.166. Ребро куба равно 10 см. На какую величину изменится объем куба V , если его ребро увеличить на 2 мм? Найти точное значение величины ∆ V и ее приближенное значение dV .

6.167. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга при этом оказался равным 16π . Найти первоначальную величину радиуса.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольном значении аргумента x .

6.168. 8		;		6.169. ln x ;	6.170. sin x ;
	x
6.171. 2x ;				6.172. 2x4 ;	6.173.	2	;

						x2
					6.176. (1− x2 )3 ;
6.174. x		4 − x2	;	6.175. sin x − x cos x ;
6.177. x ln x − x +1;				6.178. x arctgx	6.179. 3arcsin x −4arctgx ;
6.180. ln(1+3x + 2x2 ) ;				6.181. e−x2 ;	6.182. tg 4 x ;
6.183. cos(5x).

228

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб39самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc
#
21.08.2019451.45 Кб4свобода и ответственность.rtf