Раздел II. Введение в математический анализ

Глава 4. Функция одной переменной

4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления

Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т.е. множества, состоящие из действительных чисел.

Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой R .

Понятие функции. Область определения и область значений функ-

ции. Если каждому числу x из некоторого множества X по определенному правилу f поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что

на множестве X задана функция y = f (x) , где x называется независимой пе-

ременной или аргументом, а y – зависимой переменной.

Множество X называется областью определения данной функции и обозначается D( f ), а множество всех чисел y , соответствующих различным чис-

лам x X , – областью значений (изменения) функции и обозначается E( f ).

Если числу x0 из области определения функции f (x) соответствует некоторое число y0 из области значений, то y0 называется значением функции в точке x0 (или при x = x0 ).

График функции и способы ее задания. Если задана декартова прямо-

угольная система координат Oxy , то графиком функции f (x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f (x)).

Основными способами задания функции являются аналитический (формульный), графический и табличный. При аналитическом задании функции y = f (x) часто не указываются области D( f ) и E( f ), но они естественным

образом определяются из свойств функции y = f (x) .

Пример 4.1. Найти область определения и область значений функций:

160

− 1 ; 1 ;2 2

определения D( f ) данной функции есть интервал (−4;1) . Поскольку в области определения имеет место неравенство 0 < 4 −3x − x2 ≤ 74 , то областью значе-

Четность и нечетность функции. Функция y = f (x) называется чет-

ной, если множество D( f ) симметрично относительно нуля и для любого x D( f ) справедливо равенство f (−x) = f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x) называется нечетной, если множество D( f ) симметрично относительно нуля и для любого x D( f ) справедливо равенство f (−x) = − f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Периодичность функции. Функция y = f (x) называется периодической,

если существует такое положительное число T ≠ 0, называемое периодом функции, что для любого x D( f ) выполняются соотношения x +T D( f ),

f (x +T ) = f (x) .

Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число τ , для которого f (x +τ) = f (x) при любом значении аргумента x .

Следует иметь в виду, что в этом случае f (x + kτ) = f (x), где k – любое целое число.

Пример 4.2. Определить, какие из данных функций четные, какие – не-

161

Р е ш е н и е : 1) D( f ) = (−∞;+∞), т.е. область определения функции симметрична относительно начала координат. Кроме того, имеет место цепочка ра-

венств f (−x) = 3(−x)4 3 − x + 2sin(−x) = −3x4 3 x −2sin x = − f (x). Следова-

тельно, данная функция является нечетной;

2)D( f ) = (−∞;+∞) и f (−x) = 5−x +5−(−x) = f (x), т.е. данная функция –

четная;

3)D( f ) = (−∞;+∞) и f (−x) = e−x −2ex ≠ ± f (x), т.е. данная функция является функцией общего вида;

4) D( f ) = (−∞;0) (0;+∞) и f (−x) = ln −x −7e−(−x)4 =ln x −7e−x4 = f (x) ,

т.е. данная функция – четная;

5) D( f ) = (−2;2), т.е. область определения функции симметрична отно-

т.е. функция нечетная.

Пример 4.3. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует:

то cos3(x +T1 ) = = cos(3x +3T1 ) = cos3x для всех значений аргумента x . Отсюда следует, что 3T1 – период функции cost, где t = 3x , а тогда 3T1 ≥ 2π , т.е.

T1 ≥ 23π .

Итак, число T = 23π – наименьший положительный период функции f (x) = cos3x;

162

2) период данной функции совпадает с периодом функции cos 4x , так

как. f (x) = sin2 2x =1−cos 4x . Рассуждая как в пункте 1), можно показать, что

2

наименьший положительный период функции cos 4x равен 24π = π2 . Таким об-

разом, наименьший положительный период функции f (x) = sin2 2x равен π2 ; 3) наименьшие положительные периоды функций sin 2x и cos5x равны

риод суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, т.е. числу 2π ;

4) для положительных значений аргумента x функция f (x) = 3x4 +1

определена и возрастает, поэтому периодической быть не может. Значит, и на всей числовой оси функция не является периодической.

Сложная функция. Пусть область значений функции y = f (x) содержится в области определения функции g(y). Тогда на множестве D( f ) определена функция z = g( f (x)), которая называется сложной функцией или ком-

убывающей (невозрастающей) на множестве X D( f ), если для любых значений x1 , x2 из этого множества X таких, что x1 < x2 , справедливо неравенство f (x1 ) ≤ f (x2 ) (соответственно f (x1 ) ≥ f (x2 ) ).

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве

X D( f ), если для любых значений x1 , x2 X таких, что x1 < x2 , справедливо неравенство f (x1 ) < f (x2 ) (соответственно f (x1 ) > f (x2 ) ).

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

163

Обратная функция. Если для любых различных значений x1 , x2 из области определения D( f ) функции f справедливо соотношение f (x1 ) ≠ f (x2 ), то можно однозначно выразить x через y : x = g(y) . Последняя функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) (иногда ее обозначают x = f −1 (y)). Для функции x = g(y) множество E( f ) является областью определения, а множество D( f ) – областью значений. Поскольку справедливы тождества g( f (x)) ≡ x и f (g(y)) ≡ y , функции y = f (x) и x = g(y) являются

D( f ) = (−∞;−3) (−3;+∞), которое является областью ее определения, а значит для любых x1 ≠ x2 имеем f (x1 ) ≠ f (x2 ). Отсюда следует, что на D( f ) функция имеет обратную. Чтобы найти эту обратную функцию, разрешим

уравнение y = x +3 5 относительно x : x = 3y −5. Записывая полученную фор-

мулу в трад иционном виде (т.е. меняя x и y местами), найдем окончательно: y = 3x −5 – обратная функция к исходной. Область определения этой функции

совпадает с областью значений исходной функции, т.е. с множеством

(−∞;0) (0;+∞) ;

2) функция y = x3 возрастает на промежутке (−∞;+∞), а потому имеет обратную на этом промежутке. Рассуждая как в пункте 1), найдем обратную

ках). Значит, на интервале (−∞;+∞), являющемся естественной областью определения, данная функция обратной не имеет. Заметим, однако, что функция

164

y = x2 имеет обратную на каждом из промежутков (−∞;0), (0;+∞), где указанная функция является монотонной.

Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве X , если существует такое положительное число M , что для любого значения аргумента x X выполняется неравенство f (x) ≤ M .

Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения следующих функций:

165

Найти множества значений следующих функций:

166