- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
5.8.Контрольные задания к главам 4, 5
1.Найти область определения функции
1.y = −x2 + x + 6 ;
3.y = lg 3xx−+26 ;
5. y = |
8 −15x − x2 |
; |
|
x − 4 |
|||
|
|
7.y = arccos 2x − −x2 +3x − 2 ;
9.y = x2 3−−xx− 2 ;
11. |
y = |
1 |
; |
|
|
|
|||
ln(x2 − 2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
y = |
3 |
|
|
2 − x |
; |
|||
|
|
|
|
|
|||||
−2x2 +3x −1 |
15.y = xx −+52 ;
2.Построить график функции
1.y = 2cos(x +π);
3.y = sin 2x ;
5.y = 2x2 + 4x +3;
7.y = sin2 x +1;
9.y = −x2 + 4x −1;
11.y = cos2 2x −sin2 2x +1;
13. y = 21−x −1;
15. y = −x2 − 4x −1.
2. y = lg(x2 −5x + 7) ;
4.y = x2 x−−x1− 2 ;
6.y = ln(x2 −7x +13) ;
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8. y = 5 − x + |
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|||||
x2 −3x + 2 |
||||||||
10. y = lg |
|
x −1 |
; |
|
|
|||
x2 +5x + 4 |
|
|
12.y = x +3 −ln(x2 +3x + 2);
14.y = 2arcsin3x + 1− x2 ;
2. y =1− x +1 ; 4. y = cos2 x ;
6. y =1−ex+1 ; 8. y = xx++12 ;
10.y = x 1−3 ;
12.y = ln(x −3) ;
14. y = cos 2x ;
210
|
3. |
Найти пределы |
||||||||||||||||||
1. |
а) lim |
2x2 −3x − 4 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
||||||
|
в) |
lim |
|
|
1+ 2x |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→4 |
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) lim |
|
3x −1 |
2x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3x +1 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
а) lim |
|
|
(x −3)2 |
; |
|
||||||||||||||
5x3 − x |
+ 4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
1− x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→−11+ 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 +3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
д) lim |
3x |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→0 |
|
5 − 2x |
|
|
|
|
3. |
а) lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
− 2 |
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x2 |
−3x + 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|||||
|
в) |
lim |
|
|
|
9 + 2x |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 −64 |
|
||||||||||||
|
|
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
+1 |
2x−x3 |
||||||||||
|
д) lim |
|
x |
|
|
. |
|
||||||||||
|
3 |
|
−1 |
|
|||||||||||||
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
а) lim |
|
|
|
x2 +9 − |
|
x2 −9 ; |
||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
sin 2x |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→0 |
|
|
|
x +16 − 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 −3x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
д) lim |
|
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 − 4x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
а) lim |
|
|
|
x4 −1 |
|
; |
|
|
||||||||
2x4 |
− x2 −1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
lim |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→−1 1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
lim x2x−3 3x −10 ; x→5 −125
lim1−cos2x ;
x→0 3x2
lim |
(x −3)3 |
|
; |
|
x2 − 4x +3 |
||||
x→3 |
|
|||
lim tg x −sin x |
; |
|||
x→0 |
xsin2 x |
|
|
lim x2 2− 2x +1 ; x→1 2x − x −1
lim x −2 xcos x ; x→0 x tg6x
lim x43−16 ;
x→2 x −8
lim1−cos8x ; x→0 1−cos x
lim x2 +2 4x +3 ;
x→−1 2x + x −1
lim tg x +sin x ;
x→0 2x
211
д)
6.а)
в)
д)
7.а)
в)
д)
8.а)
в)
д)
9.а)
в)
д)
10.а)
в)
lim 2x 3x−1 . x→∞ 2x −3
lim |
|
2x2 − 4x + 7 |
|
|
; |
|||
4x3 −5x2 + 4x |
−1 |
|||||||
x→∞ |
|
|||||||
|
|
|
− 2 |
; |
|
|
|
|
lim |
|
x + 4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
sin 2x |
|
|
|
2
lim 3 −7x 5x . x→0 3 + x
limx (3xx+3 +2)43 ;
→∞
lim |
x2 |
+ 2x −3 |
; |
|||
|
|
|
|
|
||
x→1 |
|
3 |
x −1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+3 |
x−x2 |
|
||||
lim |
x |
|
. |
||||||
|
2 |
+1 |
|
||||||
x→∞ x |
|
|
|
|
|||||
lim |
5x3 |
− x2 + 4 |
; |
||||||
x − x3 −15 |
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|||||||
lim |
tg x −sin x |
; |
|||||||
x(1−cos x) |
|||||||||
x→0 |
|
|
lim(5x + 2)(ln(x +10) −ln(x −1)) . |
||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 + 2x − |
|
x2 − 2x) ; |
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→4 |
|
|
x − 2 − |
6 |
− x |
|
|
|
||||||||
|
|
5x |
3 |
− 2 |
|
2x3 −1 |
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
x→∞ |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
lim(x − x2 − x +1);
x→∞
lim 4 + x − 2 ; x→0 3arctg x
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
lim |
|
x4 −1 |
; |
|
x2 |
−3x + 2 |
|||
x→1 |
|
lim 2xsin x ; x→0 1−cos4x
lim |
7x2 |
−8x +1 |
; |
|
13x2 |
−10x −3 |
|||
x→ |
|
lim sin(2x −1) ;
x→1 x −1
limx 2xx22−−27xx−+33 ;
→3
lim sin(1− x) ;
x→1 x −1
lim |
3x3 −6x2 |
; |
|
5x2 − 20 |
|||
x→2 |
|
||
lim |
x(1− tg x) |
; |
|
cos2x |
|||
x→π |
|
||
4 |
|
|
lim |
3x2 + x − 2 |
; |
||
x +1 |
|
|||
x→−1 |
|
|
||
lim |
1−cos3 x |
; |
|
|
|
4x2 |
|
||
x→0 |
|
|
|
212
д)
11.а)
в)
д)
12.а)
в)
д)
13.а)
в)
д)
14.а)
в)
д)
15.а)
x −1 |
4x−3 |
|
lim |
|
. |
|
||
x→∞ x + 2 |
|
lim |
x5 − x4 + x3 −1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 −5x5 +1 |
|
|||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x +1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
x − 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
+ 2 |
5x2 +6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
0,1x2 − x +1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x + 7 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→2 |
1− |
|
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 + x |
2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→0 |
x |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x + 7 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|
|
2x2 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
x −16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→16 |
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
3x +1 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
3x |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
1+ 2x − x3 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ x2 +5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
9 − x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1−3x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
3x |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
5x + 7 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
9 1−8x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
lim |
x3 |
+ x2 −3x +1 |
; |
||
|
x3 |
−1 |
|
||
x→1 |
|
|
lim1−cos x ;
x→0 3x2
lim |
x2 − 25 |
; |
|
||
2x2 −9x +5 |
|
||||
x→5 |
|
|
|
||
lim |
sin(x +1) |
|
|
; |
|
1−cos(x +1) |
|||||
x→−1 |
|
lim |
x2 +3x −10 |
; |
|||||||
2x2 −3x |
− 2 |
||||||||
x→2 |
|
|
|||||||
lim |
|
|
sin3x |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
x + 2 − |
2 |
|
|
lim |
cos(x −3)(x2 −9) |
; |
|||
2x2 |
−7x +3 |
||||
x→3 |
|
||||
lim |
sin(1−ex ) |
; |
|
||
tg x |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
lim |
x3 |
+3x −3x2 +1 |
; |
||
|
x2 |
+ x − 2 |
|
||
x→1 |
|
|
213
в) lim |
|
|
cos2x |
−1 |
; |
г) lim |
|
cos2 x |
|
; |
||||||
|
|
tg |
2 |
x |
|
|
|
π |
|
2 |
||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 |
5x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→∞ x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти точки разрыва функции и определить их род. Построить эскиз графика функции. В случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности».
cos x при x ≤ 0
1. y = x2 +1 при 0 < x ≤1; |
||
|
x при x >1 |
|
|
||
|
2
3. y = 3x−4 ;
5. |
|
|
2 |
; |
|
|
|||
y = 4 − x при x ≤ 3 |
||||
|
x − 2 при x > 3 |
|
||
|
|
|
0 при x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
7. |
y = tg x при 0 < x ≤π ; |
|||
|
|
|
x при x >π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 при x ≤ −1 |
|||
9. |
y = |
2 |
при x > −1 |
; |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
11.y = (x −22)2 ;
13.y = xx −− 22 ;
x +1 при x ≤ 0
15.y = cos x +1 при 0 < x <π ;sin x при x ≥π
2.y = x3 +1; x +1
4.y = arctg x 1+1 ;
2x при x <1
6.y = 3 − x при 1≤ x < 3;x − 2 при x ≥ 3
8.y = xx −−11 ;
1
10. y =1− 2x ;
1
12.y = 5x−1 ;
14.y = (x +11)2 ;
214