Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

5.1. Числовая последовательность

Понятие числовой последовательности. Действия над последова-

тельностями. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число xn , то говорят, что задана числовая последо-

вательность x1 , x2 , , xn , , которую будем обозначать {xn }.

Числа x1 , x2 , , xn , называют членами (элементами) последовательности: x1 – 1-м членом последовательности, x2 – 2-м членом последовательности,…, xn – n-м (энным) или общим членом последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию f , определенную на множестве N натуральных чисел. Тогда общий член последовательности xn = f (n) . Последнее выражение называется формулой общего члена последовательности.

Суммой, разностью, произведением или отношением двух последова-

тельностей {xn } и {yn } называются последовательности, члены которых обра-

называется последовательность с общим членом zn = cyn .

Последовательность может быть задана, в числе прочего, с помощью рекуррентных формул, т.е. формул, позволяющих выразить n-й член последовательности через предыдущие члены.

Пример 5.1. Написать первые пять членов последовательности {xn }, ес-

ли:

1)xn = (−1)n ; 2n +1

2)xn − n-й знак в десятичной записи числа π .

3)x1 = 0, xn = 2xn−1 +1;

172

2) в силу того, что число π = 3,141592653 , получаем x1 =1, x2 = 4, x3 =1, x4 = 5 , x5 = 9;

3) имеем x1 = 0. Пользуясь формулой xn = 2xn−1 +1, последовательно находим x2 =1, x3 = 3, x4 = 7, x5 =15.

Ограниченность последовательности. Последовательность {xn } назы-

вается ограниченной сверху, если существует такое число M , что для любого номера n справедливо неравенство xn < M (т.е. все члены последовательности

содержатся в интервале (−∞;M )).

Последовательность {xn } называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для любого номера n справедливо неравенство xn > m (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (m;+∞)).

Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует такое число M > 0 , что для любого n выполнено неравенство xn < M (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (− M ;M )).

Очевидно, ограниченная последовательность является ограниченной как сверху, так и снизу и обратно, ограниченная одновременно сверху и снизу последовательность является ограниченной.

Пример 5.2. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху; ограничены снизу; ограничены:

Р е шен и е : 1) данная последовательность xn = 2n +1, состоящая из всех

нечетных чисел, не превышающих числа три, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

3) последовательность ограничена, так как она является ограниченной и снизу и сверху: 0 < xn = 21n <1;

173

4) последовательность xn = (−3)n не является ограниченной, так как для любого, сколь угодно большого, числа M > 0 можно найти такой номер n

Возрастание и убывание последовательности. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 (соответственно xn ≥ xn+1 ).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются моно-

тонными.

Последовательность {xn } называется возрастающей (убывающей), если для любого номера n справедливо неравенство xn < xn+1 (соответственно xn > xn+1).

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго мо-

нотонными.

Пример 5.3. Исследовать данные последовательности на монотонность:

2) последовательность не является ни монотонной, ни строго монотонной, так как, например, x1 = −1< x2 = 12 , но x2 > x3 = −13 ;

3) покажем, что данная последовательность строго убывает, т.е. для лю-

ше знаменателя и поскольку при этом общий член xn положителен для любого

174

4) рассмотрим разность между n-м и ( n +1) -м членами последователь-

остальных значений n(при этом xn < xn+1 ), поэтому, строго говоря, данная по-

следовательность монотонной не является, однако она строго монотонна (возрастает), начиная с пятого члена.

Задачи для самостоятельного решения

5.1.Написать первые пять членов последовательности (xn ), если:

175