1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

403

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.22.		Найти ( f		(A))		3		1		2			f (x) = 2x +1.
1.22.		Найти ( f		(A))			, если A =				,		f (x) = 2x +1.
								−1		0
1.23. Выполнить указанные действия:
−1	5 2		1	0			0 5	0	1		4			cosα	−sinα 3
−1	5 2	;	б) 0 1				0 ;	0	1		4			cosα	−sinα 3
а)		;	б) 0 1				0 ;	в)			;		г)		cosα	.
2	3							0	0					sinα	cosα
				0
			0	0			1
1.24. Вычислить выражения при										n = 2			и	n = 3, обнаружить закономер-
ность и с помощью метода математической индукции обосновать ответ:
1	1 n		λ	1	n		в)	cosα	−sinα			n		1	a n
а)	;		б)	λ	;		в)			cosα			;	г)	.
0	1		0	λ				sinα		cosα				0	1

Пример 1.5. Вычислить определитель ∆ =

Пусть имеется произвольная квадратная матрица n-го порядка:

a11		a12	a1k	a1n
a		a	a	a
	21	22	2k	2n
						(1.1)
A =					.	(1.1)
	a	a	a	a
	i1	i2	ik	in

		an2	ank
an1		an2	ank	ann

Каждой такой матрице поставим в соответствие число, обозначаемое A

или det A и называемое определителем этой матрицы. Для обозначения определителей также используют греческую букву ∆ .

При n =1 матрица (1.1) имеет вид A =[a11], и, по определению, будем

считать определителем этой матрицы (определителем первого порядка) само

число a11, т.е. det A = a11.

Пусть теперь n ≥ 2. Минором Mik элемента aik матрицы (1.1) назовем определитель матрицы (n −1) −го порядка, полученной из (1.1) вычеркиванием

i-й строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением Aik	элемента aik матри-
цы (1.1) назовем произведение множителя (−1)i+k на	минор Mik , т.е.

Aik = (−1)i+k Mik . Определителем матрицы n-го порядка называется сумма про-

изведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:

n
det A = a11A11 + a12 A12 + + a1n A1n = ∑a1k A1k .	(1.2)

k=1

Формула (1.2) называется разложением определителя n-го порядка по элементам первой строки.

Вычислим определитель третьего порядка:

а11

а12

а13

= а (−1)1+1

а22

а23

+ а (−1)1+2

а21

а23

+ a (−1)1+3

а21

а22

∆ =

а32

а33

а31

а33

а31

а32

а31

а32

а33

= а11(а22а33 − а23а32 ) − а12 (а21а33 − а23а31) + a13 (а21а32 − а22а31) =

= а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 − а13а22а31 − a12а21а33 − а11а23а32 .

(1.3)

Каждое из шести слагаемых в (1.3) называется членом определителя третьего порядка и есть произведение трех элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы составить выражение (1.3), можно воспользоваться схемой Саррюса (или правилом треугольников), согласно которой со знаком плюс берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали:

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

Перечислим свойства определителей.

1.Определитель матрицы, полученной из данной транспонированием, равен определителю данной матрицы: det A′ = det A.

2.При перестановке местами двух строк (столбцов), определитель меняет знак на противоположный, сохраняя при этом свою абсолютную величину.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то сам определитель умножится на это число.

Следствие 1. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Следствие 2. Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

Следствие 3. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

5. Если каждый элемент i-й строки ( k −го столбца) определителя есть сумма двух слагаемых: aik = aik′ + aik′′ , то определитель есть сумма двух опреде-

лителей; в первом из которых i-я строка ( k -й столбец) состоит из элементов aik′ , во втором – из элементов aik′′.

6.Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

8.Если к элементам некоторой строки определителя прибавить элементы

другой строки, умноженные на произвольное число α, то определитель не изменится.

9. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

Пример 1.4. Вычислить определитель треугольной матрицы:

	a11	0	0		0
	a	a	0		0
	21	22
А =		a32	a33	0
А =	a31	a32	a33	0		.

	a	a	a	a
	n1	n2	n3		nn

Р е ш е н и е. Применяя последовательно формулу (1.2), получим

a22

…

a33

…

a32

a33

…

det A = a

= a a

…

=…= a a

…a .

…

… … …

an3

… ann

11 22

an2

an3

… ann

Итак, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Аналогично можно показать, что определитель матрицы, у которой равны нулю все элементы, находящиеся выше (ниже) побочной диаго-

n(n−1)

нали, равен произведению числа (−1) 2 и всех элементов побочной диагона-

	1	4	3	5		4 3
	1	4	3	5
ли. Например,	−1	2	2	0
ли. Например,	−1	2	2	0	= (−1)	2	5 2 4 1 = 40 .
	3	4	0	0
	1	0	0	0

Р е ш е н и е. К первой и к четвертой строкам прибавим вторую строку, к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на два, и разложим полученный определитель по третьему столбцу:

	−1	2	0	6		−1	2	6		−1	2	2


	−3	7	−1 4
∆ =					= (−1) (−1)2+3	−1 5 15			= 3	−1	5	5	.
	−1	5	0	15		1	1	6		1	1	2
	1	1	0	6

Прибавляя третью строку к первой и второй строкам, получим:

	0	3	4	= 3 1 (−1)3+1	3	4


∆ = 3	0	6	7				= 3 (21− 24) = −9 .
	1	1	2		6	7
	1	1	2

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1,
a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,									(1.4)
.................................................

a x	+ a	x + + a x = b						.
n1 1	n2	2			nn n		n
Правило Крамера: если определитель матрицы
	a11		a12				a1n
	a		a				a
A =		21	22				2n

			am2
	am1						amn

системы (1.4) отличен от	нуля,		то система				имеет		единственное решение
(x1 , , xn ), определяемое по формулам
	x =	∆i	, i =			,			(1.5)
				1,n
	i	∆

где ∆ = det A, а ∆i − определитель, полученный из определителя матрицы А за-

меной его i-го столбца столбцом свободных членов, i =1,n. Формулы (1.5) называются формулами Крамера.

	2x		+3x			+	x	=1,
Пример 1.6. Решить систему уравнений	1				2		3
Пример 1.6. Решить систему уравнений	3x1 −				x2 + 2x3 =1,					по формулам
	x		+ 4x			−	x	= 2
	1				2		3
Крамера.
					2	3		1
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы	A	=			3	−1		1	и вычислим ее
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы	A	=			3	−1		1	и вычислим ее
						4
				1		4		−1

определитель ∆ =	2	3	1
	2	3	1
	3	−1	2	= 2 + 6 +12 +1−16 +9 =14 ≠ 0.
	1	4	−1

Значит, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычисляем вспомогательные определители ∆1, ∆2 , ∆3, заменяя в определителе ∆

1, 2 и 3-й столбцы столбцом свободных членов:

	1	3	1			2	1	1					2	3	1
	1	3	1			2	1	1					2	3	1
∆1 =	1	−1	2	=14,	∆2 =	3	1	2	= 0,		∆3 =		3	−1	1	= −14.
	2	4	−1			1	2	−1					1	4	2
	По формулам Крамера находим:									x =	14	=1; x =			0	= 0; x	=	−14	= −1.
	По формулам Крамера находим:									x =	14	=1; x =			14	= 0; x	=	14	= −1.
										1	14			2	14	3		14

Задачи для самостоятельного решения

1.25. Вычислить определители:

а)	2		−5		;		б)	2	9		;		в)		0	1
а)	2		−5		;		б)	2	9		;		в)		0	1		;
	4			3				0	−1						0	2
е)		−4		0		5		ж)		a b				з)			a


		1		2		−2	;					;
		−1		3		4				0	0						na
		−1		3		4

г)	2	−1	2		д)	1	4	7


	3	1 5		;		3	0	2	;
	2	−4	3			0	−1	3

b			a	b	c


	;	и)	d	e	f	.
nb			a	b	c

1.26. Вычислить определители, пользуясь свойствами определителей:

	3	5	7	2			1	−2	3	4			3 4	2	−1 2 −5
	3	5	7	2			1	−2	3	4			3 4	2	−1 2 −5
а)	1	2	3	4	;	б)	2	1	−4	3	;	в)	1	−2	3 2	8	;
	−2	3	3	2			3	−4	−1	2			5 6	−4 3	4 3 14 3
	1	3	5	4			4	3	2	−1			2 5	−4 5	1 2 12 5

		−1				1	1	1								1	2	3	4				4		3	0	0
		−1				1	1	1								1	2	3	4				4		3	0	0
г)	1				−1 1			1			;	д)				2	3 4 1				;	е)	1 2 0 0					;
	1				1		−1 1									3	4 1		2				5		4	3	2
	1				1		1	−1								4	1 2		3				1		3	1	4
				2		−1 0		3						1				−1			0	8
				2		−1 0		3						1				−1			0	8
ж)				−1		3	5	4	;			з)		200				−200			0	1600		;
				4		−2	0	6						19				20			31	190
				1		2	3	4					1991					1			0	5
и)			365			275		569				к)			2401 1986


			3			3		3		;										.
			362			272		565							2402			1987
			362			272		565

1.27.Пусть А – квадратная матрица четвертого порядка и ее определитель равен двум. Найти определитель матрицы 3А.

1.28.Пусть А – квадратная матрица пятого порядка и det A = 3. Найти

det(2A).

1.29.Пусть А – квадратная матрица n-го порядка и det A = b. Найти

det(kA).

1.30.При каком значении α следующие определители равны нулю:


а)	3		5			б)	3 −α 2					в)	1	2	−3		г)	3 −α	0	0


				;						;			−1 0		2	;		2	−α	0	;
	1		α				2		−α				1	2	α			10	−5	1
д)		1	2	5				1	2	α			1	2	α			10	−5	1


		0	10 α		;		е)	2	1	0	?
		0	0	5				3	3	α

	0	0	0	0	a1n
	0	0	0	0	a1n
	0	0	0	a2 n−1	0		n(n−1)
1.32. Доказать, что							n(n−1)
1.32. Доказать, что	0	0	a	0	0	= (−1)	2 a a	a	.
			3 n−1				1n 2n−1	n1

	an1	0	0	0	0

1.33. Вычислить определители, используя теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца):

	0	0	2	0		0					3		−2	1	1


	0	1	5	−1		0
	0	1	5	−1		0					0		1 2 0
а)	2 −3 7			2 3			;	б)			0		1 2 0			;
	1	0	−4	2		0					−1		2	4	2
	1	0	−4	2		0					1		−3	0	0
	−1	2	0	−1		2					1		−3	0	0
	−1	2	0	−1		2
	2 −3 4 −2											1	5 −2 3
	2 −3 4 −2											1	5 −2 3
в)	2 −1 3			1	;					г)		0	2		7	1	.
	1	2	−1	0								2	10		−1	5
	3 1 4 −1											−3 −15 −6 13
										2		−3 4 1
										2		−3 4 1
		1.34. Вычислить определитель								x		y	z	t	, разлагая его по элементам
										4		−2	3	2
										3		−1 4 3
второй строки.									5			a 2 −1


		1.35. Вычислить определитель							4			b	4	−3	, разлагая его по элементам
									2			c	3	−2
									4			α 5 −4
второго столбца.

1.36. Вычислить определители:

	a	3	0	5			1	0	2	a
	a	3	0	5			1	0	2	a
а)	0	b 0		2	;	б)	2	0	b 0		;
	1	2	c	3			3	c	4	5
	0	0	0	d			d	0	0	0

	x	a	b	0	c
	x	a	b	0	c
	0	y	0	0	d
в)	0	e	z	0	f	.
	g	h	k	u	l
	0	0	0	0	v

1.37. Не раскрывая определителей, показать, что они равны нулю:

sin2 α

cos2 α

sin2 β

cos2 β

а)

;

б)

;

b + c

c + a

a +b

sin2 γ

cos2 γ

a +b

ax +by

в)

a b + c

;

г)

z t az +bt

;

c + a

au +bv

д)	3sinα	2cosα	sin(α +δ)
	3sinα	2cosα	sin(α +δ)
	3sin β	2cos β	sin(β +δ)	;
	3sinγ	2cosγ	sin(γ +δ)

	1	+ 2a	2001	a	x
	1	+ 2a	2001	a	x
е)	1	+ 2b	2002	b	x	.
	1	+ 2c	2003	c	x
	1+ 2d		2004	d	x

1.38. Числа 1370, 1644, 2055, 3425 делятся на 137. Доказать, что опреде-

	1	3	7	0
	1	3	7	0
литель	1	6	4	4	также делится на 137.
	2	0	5	5
	3	4	2	5

1.39. Вычислить определители

						a	1	1			a	1	1	1


		a	1								1	a	1	1

∆2	=			,	∆3 =	1	a	1	,	∆4 =					приведением к треуголь-
		1	a			1	1	a			1	1	a	1
						1	1	a			1	1	1	a
											1	1	1	a

ному виду. На основании полученных результатов доказать, что определите-

	a	1	1	1
	a	1	1	1
	1	a	1	1	равен (a + (n −1))(a −1)n−1 .
тель n-го порядка	1	1	a	1	равен (a + (n −1))(a −1)n−1 .

	1	1	1	a
				19

1.40. Решить уравнения:

4 x

а)

= 0,

б)

= 0,

в)

= 0.

−1

−1 1

1.41. Пользуясь свойствами определителей, доказать, определители n-го порядка равны указанным значениям:

	1	1	1	1			1	2	3		n


							−1	0	3		n
	1	0	1	1
					= (−1)n−1 ;		−1 −2		0	n
а)	1	1	0	1		б)						=
							−1	−2	−3	n

	1	1	1	0
							−1	−2	−3	0

что следующие

n!.

1.42. Вычислить определители методом опорного элемента:

		−1 2		7 5						2		−1 3 0								2	1	1 0
		−1 2		7 5						2		−1 3 0								2	1	1 0
а)			1 3		−1 2		;		б)	−1 1			2		3	;		в)		7 1		3 1	.
			2 1		2 3					0		4	−1 −5							3	−1 1 2
		−5 2			−1 3					0		2	1 8							1	3	2 1
			1.43. Проверить непосредственным вычислением, что
	a		b e			f	=	a	b		e		f	.
	a		b e			f		a	b		e		f

	c		d g			h		c	d		g	h
			1.44. Найти det(AB), если det A = 2, det B = −3.
														−1	2		,		0		1
			1.45. Найти det(AB), если A =														,	B =			.
														0	3				−1 2

1.46. Пользуясь правилом Крамера, решить следующие системы уравне-

ний:

а)	3x + 7 y = 2,				б)	4x −3y −1 = 0,		в)	x1	+ x2	= 0,
а)	2x		;		б)		;	в)			;
	2x	+5y =1;				x +3y − 4 = 0;			2x1 − x2 = 3;
	3x1	+ 4x2	− 2x3	=11,		x1 −	x2	+ x3 = −2,
г) 2x1 − x2 − x3 = 4,						д) 2x1 + x2 − 2x3 = 6,
г) 2x1 − x2 − x3 = 4,					;	д) 2x1 + x2 − 2x3 = 6,				;
	3x	− 2x	+ 4x	=11;		x +	2x	+3x = 2;
	1	2	3			1	2	3

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб39самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc
#
21.08.2019451.45 Кб4свобода и ответственность.rtf

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•