Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Глава 6. Производная и дифференциал

6.1. Определение производной. Правила дифференцирования

Приращением функции y = f (x) в точке x0 при соответствующем при-

ращении ∆x аргумента x называется разность ∆y(x0 ; ∆x) = f (x0 + ∆x) − f (x0 )

(рис. 6.1).

дифференцируемой в точке x0 .

Для производной используются следующие обозначения: y′(x0 ), f ′(x0 ) ,

dy(x0 ) , df (x0 ) и др. dx dx

Нахождение производной называют дифференцированием функции. Чис-

ственно правой и левой производными функции y = f (x) в точке x0 . Для существования производной функции в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы ее односторонние производные существовали и были равны f+′(x0 ) = f−′(x0 ) .

215

Таблица производных основных элементарных функций

1.(xα )′ =α xα−1, α ≠ 0 .

2.(a x )′ = a x ln a, a > 0, a ≠1.

3.(ex )′ = ex .

4. (loga x)′ = x ln1 a , a > 0, a ≠1.

5.(ln x)′ = 1x .

6.(sin x)′ = cos x .

7.(cos x)′ = −sin x.

8.(tgx)′ = cos12 x .

9.(ctgx)′ = −sin12 x .

11. (arctgx)′ = −(arcctgx)′ = 1+1x2 .

Правила дифференцирования

Пусть y = f (x) и y = g(x) – некоторые дифференцируемые функции, с – постоянная величина. Тогда:

1.(c)′ = 0.

2.(c f )′ = c f ′.

3.( f ± g)′ = f ′± g′.

216

Пример 6.1. Исходя из определения, найти производную функции y = x3 . Р е ш е н и е. Найдем

∆y(x0 ;∆x) = (x0 + ∆x)3 − x03 = 3x02∆x +3x0 (∆x)2 +(∆x)3 . Вычислим предел:

Следовательно, (x3 )′ = 3x2 .

Пример 6.2. Найти производные следующих функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования:

1)y = x3 x ,

2)3sin x − x 2x ,

3)5 1 x ,

2

4)x2 cos x ,

5)lnxx .

Ре ш е н и е.

217

Пример 6.3. Найти производную функции y = x2 −5x + 4 в точках x0 = 0

иx0 = 4 .

Ре ш е н и е. Найдем производную y′ = 2x −5, а затем найдем значение

производной в указанных точках. y′(0) = 2 0 −5 = −5; y′(4) = 2 4 −5 = 3.

Задачи для самостоятельного решения

Найти приращение функции ∆y(x0 , ∆x).

6.1.y = x2 +3x +1, x0 =1, ∆x = 0,1;

6.2.y = 1x , x0 = 2 , ∆x = 0,2 ;

6.3.y = x , x0 = 4 , ∆x = 0,41;

6.4.y = lg x , x0 =10, ∆x = 0,3.

Найти производные указанных функций, исходя из определения производной.

6.10. Показать, что производная функции y = x в точке x = 0 не существует.

Найти производные указанных функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных.

218