Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

514

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Глава 7. Приложения производной

7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора

Теорема Ролля. Если функция f (x): 1) непрерывна на отрезке [a; b], 2)

дифференцируема в интервале (a; b) , 3)	f (a) = f (b) , то найдется такая точ-
ка c (a; b) , в которой f (c) = 0 .
′	f (x): 1) непрерывна на отрезке [a; b],
Теорема Лагранжа. Если функция	f (x): 1) непрерывна на отрезке [a; b],

2) дифференцируема в интервале (a; b) , то найдется точка c (a; b) , в кото-

рой

f (b) − f (a) = f (c)(b − a) .

′

Теорема Коши. Если функции y = f (x) и y = g(x) :1) непрерывны на от-

резке [a; b], 2) дифференцируемы в интервале (a; b) , причем g (x) ≠ 0

для всех

′

x (a; b) , то найдется такая точка

c (a; b) , в которой

f (b) − f (a)

f ′(c)

g(b) − g(a)

′

g (c)

Формула Тейлора. Если функция

f (x) имеет производные до (п +1)-го

порядка включительно в интервале (x0 −ε, x0 +ε),

ε > 0, то для всех х

из это-

го интервала справедлива формула Тейлора (порядка п)

f (x) = f (x0 ) +

f ′(x0 )

(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +... +

f (n) (x0 )

(x − x

+ R

(x),

n+1

где

f (n+1) (ξ)

(x) =

(x − x

)n+1,

ξ (x

−ε,

+ε) –

остаточный член

форме

n+1

(n +1)!

Лагранжа. Формула Тейлора в точке x0 = 0 называется формулой Маклорена.

Пример 7.1. Выяснить, удовлетворяет ли функция y = x2 + x −3 условиям теоремы Лагранжа на отрезке [− 2; 2]. Если да, то найти точку с отрезка, в которой выполняется теорема.

Р е ш е н и е. Так как функция y = x2 + x −3 непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, к ней применима теорема Лагранжа на любом

отрезке.

′

y(2) =

3, y(−2) = −1. По теореме

Лагранжа

найдется

y (x) = 2x +1,

′

y(2) − y(−2)

3 +1

=1.

2 −(−2)

точка c (−2;2) такая, что y (c) = 2c +1 =

Отсюда получим с = 0.

Пример 7.2. Написать

формулу

Тейлора 2-го

порядка для

функции

y =

в точке x0 = 2 .

x −1

233

Р е ш е н и е.

Найдем

y′(x) = −

; y′′(x) = 2(x −1)

−3

. Найдем значе-

(x −1)2

ния

′

′′

′

′′

y(2), y (2) и

y (2). y(2)

= 2; y (2) = −1;

y (2) = 2 . Подставляя полученные

значения в формулу Тейлора, получим

= 2 −(x − 2) + 2(x − 2)2 + R (x),

x −1

y′′′(ξ)

где

R (x) =

(x − 2)3 – остаточный член в форме Лагранжа, ξ (x

; x) .

Задачи для самостоятельного решения

7.1.Написать формулу Лагранжа для функции y = x на отрезке [1; 4] и найти значение с.

7.2.Применима ли теорема Ролля к функции y =1− 3x2 на отрезке [−1; 1] ?

7.3.Выяснить, применима ли теорема Ролля к функции y = x2 −5x + 7 на отрез-

ке [1; 4].

7.4.Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = lnsin x на отрезке π ; 5π .

6 6

7.5.Написать формулу Лагранжа и найти соответствующее значение с для функций а) y = ln x на отрезке [1;2]; б) y = arcsin x на отрезке [0;1].

7.6. Написать формулу Коши и найти соответствующее значение с для фун к-

ций а) y = sin x и y = cos x на отрезке			π			2	на отрез-
			π			2
		0;	2	; б) y = x и y = x
ке [1;4].			2
ке [1;4].
7.7. В какой точке касательная к графику функции					y = 4 − x2 параллельна хор-
де, соединяющей точки A(−2; 0)	и B(1; 3) .
7.8. Написать формулу Лагранжа	для	функции			y = arcsin(2x) на		отрезке
[x0 ; x0 + ∆x].

7.9.Показать, что уравнение x3 −3x +1 = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0; 1).

7.10.Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

y = 2x3 −3x2 + 5x +1 в точке x0 = −1.

7.11. Для многочлена x4 + 4x2 − x +3 написать формулу Тейлора 2-го порядка

в точке x0 =1.

7.12. Написать формулу Маклорена 3-го порядка для функции y = arcsin x . 7.13. Написать формулу Маклорена 4-го порядка для функций

а) y = ex ; б) y = sin x; в) y = cos x; г) y = ln(1+ x); д) y = (1+ x)−2 .

234

7.14. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы:

а)

lim

1−cos x

;

б)

lim

ex −1− x

x2 + x3

2x2

x→0

7.2. Правило Лопиталя-Бернулли

Если при вычислении предела вида lim

f (x)

g(x)

→a

пределы lim

f (x) = lim g(x) = 0, т.е. имеет место неопределенность вида

x→a

f ′(x)

f (x)

f ′(x)

но при этом существует

lim

, то

lim

x→a

′

x→a

g(x)

x→a

′

g (x)

(x)

Аналогичным образом,

если lim

f (x) = lim g(x) = ∞,

т.е. имеет место не-

x→a

f ′(x)

определенность вида ∞ , но при этом существует

lim

, то

lim

f (x)

∞

′

g(x)

x→a

g (x)

x→a

lim

f ′(x)

Неопределенность вида 0 ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00

сводятся к неопределен-

′

x→a

g (x)

или

∞

ностям

∞

путем алгебраических преобразований.

Пример 7.3. Найти предел lim

−1

x→0 sin 2x

Р е ш е н и е.

Так как lim (ex −1) = lim sin 2x = 0, имеем неопределенность

x→0

вида

. Применим правило Лопиталя-Бернулли.

lim

−1

= lim

(ex −1)′

= lim

1 .

sin 2x

(sin 2x)′

2cos 2x

x→0

Пример 7.4. Найти предел lim

x→∞ ex

Р е ш е н и е. Так как

lim x2 = lim ex = ∞,

имеем неопределенность вида

x→∞

∞

. Применим правило Лопиталя-Бернулли.

∞

lim

= lim

= (так как неопределенность вида

сохраняется, еще раз

x→∞ ex

→∞

∞

используем правило Лопиталя) = lim

= 0 .

x→∞ ex

235

Пример 7.5. Найти предел

lim x ln x .

x→0

Р е ш е н и е.

В данном примере имеется неопределенность в ида 0 ∞. В

таких случаях произведение функций

f (x) g(x) представляют в виде дроби

f (x)

g(x)

или

; после чего неопределенность приобретает вид

или

g(x)

f (x)

∞

. Тогда

lim x

ln x = lim ln x

= lim

= −lim x = 0 .

∞

x→0

x→0 1

x→0 −

x→0

Пример 7.6. Найти предел

lim(cos x) x .

x→0

Р е ш е н и е.

В данном примере имеется неопределенность вида 1∞ . В та-

ких случаях, а также в случаях неопределенности вида 00 и ∞0 необходимо пре-

дел искомой функции y = f (x)g (x) выразить через предел функции z = ln y . Так
lim	z
как y = ez , lim y = ex→x0	, а
x→x0

lim z = lim ln y = lim g(x) ln f (x) . Последний предел представляет собой не-

x→x0

∞

определенность вида 0 ∞ и сводится к неопределенности

или

∞

ln cos x = ln cos x ;

В данном примере Z = ln y = ln(cos x) x =

lim ln cos x = 0 = lim

(ln cos x)′ = lim −tgx = 0.

lim y = ex→0

= e0 =1.

lim

x→0

0 x→0

(x)′

x→0 1

x→0

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

ex − e2x

7.16.

lim

x −3

;

7.17.

lim

;

7.18.

lim

1−cos x

;

x4 −81

sin x

1− cos 4x

x→3

x→0

7.19.

− cos 4x

7.20.

x3 −3x2 + x +

7.21.

3x − 2x

lim

;

lim

;

lim

;

2x2

x4 + x3 − 2

tgx

x→0

x→1

x→0

7.22.

lim 1− 2sin x ;

7.23.

lim

x cos x −sin x

;

7.24.

lim

x − arctgx

;

cos3x

x→0

x→6

−3

ex −e−x − 2x

5x −3x

7.25.

7.26.

7.27.

lim

;

lim

x −sin x

;

lim

sin 2x

;

x→2

x −

x→0

236

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб514сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016183 Кб236Сборник тестов(Логистика).doc