Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

403

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 452 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии

Глава 1. Элементы линейной алгебры

1.1. Матрицы и операции над ними

Матрицей размера m ×n называется прямоугольная таблица mn действительных чисел, записываемая в виде

a11		a12		a1n
a		a	a
A =	21	22		2n .

		am2
am1		am2	amn

Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n и обозначают An . Элементы

a11, a22 , ,ann квадратной матрицы образуют главную диагональ. Квадратная

матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей и обозначается E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием матрицы A = (aij )m×n называется такое ее преобразо-

вание, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров и порядком следования элементов. Матрица, полученная транспонированием матрицы A, называется транспонированной и обозначается A′. Таким об-

	′		′		′
разом, A		= (aij )		n×m	, где a ji = aij , i =1,2, ,m; j =1,2, ,n .
Суммой двух матриц A= (aij )						m×n	и B = (bij )	m×n	называется такая матрица
С = (cij )						m×n		m×n
С = (cij )	m×n		, в которой cij = aij +bij (i =1,2, ,m; j =1,2, ,n). Кратко записыва-
	m×n

ют С = А + В.

Произведением матрицы A= (aij )m×n на число α называется такая матрица

B = (bij )	m×n	, в которой	bij =α aij (i =1,2, ,m;	j =1,2, ,n). Кратко пишут
	m×n

B = A α или B =α A.

Произведением матрицы A = (aik )m×n на матрицу B = (bkj )n×p справа (или

матрицы В на матрицу А слева) называется такая матрица C = (cij )					m×p	, в кото-
					m×p
			n
рой	cij	= ai1b1 j + ai 2b2 j + + aikbkj + + ainbnj	= ∑aikbkj	(i =1,m; j =1,n).
			k =1

Произведение матрицы А на матрицу В справа обозначается С = АВ (так же обозначается произведение матрицы В на матрицу А слева). Правило умножения матриц формулируется следующим образом: чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i -й строки и j-го столбца матрицы С = АВ,

нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

	1	2	3		1	−1
Пример 1.1. Пусть	1	2	3	,	B = 0	−2	. Тогда
Пример 1.1. Пусть	A =	0		,	B = 0	−2	. Тогда
	4	0	−1

					2	0

1 1+ 2 0 +3 2

1 (−1) + 2 (−2) +3 0

−5

4 1+ 0 0 + (−1) 2 4

(−1) + 0 (−2) + (−1) 0

−4

1 1+ (−1) 4 1 2 + (−1) 0

1 3 + (−1) (−1)

−3

2 4

BA =

(−2) 0

0 1+ (−2) 4 0 2 +

0 3 + (−2) (−1)

−8

0 2 .

2 2 + 0

2 3 + 0 (−1)

2 1+ 0

4 6

Таким образом, AB ≠ BA.

Пример 1.2. Пусть

−1

Тогда

A =

B =

−1

AB =

1 (−1) +1 1

1 1+1 (−1)

1 1

1 (−1) +1 1

+1 (−1)

−1 1+1 1

0 .

−1 1+1 1

Таким образом, AB = BA = 0, хотя A ≠ 0 ,

B ≠ 0 .

Многочлены от матриц. Пусть А – произвольная квадратная матрица n- го порядка, k – натуральное число. Тогда k-й степенью матрицы А называется

произведение k матриц, каждая из которых равна А: Аk = A A A . Нулевой сте-

k раз

пенью A0 квадратной матрицы А (A ≠ 0) называется единичная матрица, порядок которой равен порядку А: A0 = E .

	Пусть f (t) =α	tm +α tm−1 + +α		m	есть многочлен	аргумента t, где
	0	1
α0 ,α1, ,αm −действительные числа. Тогда многочленом						f (A) от матрицы
А	называется матрица		f (A) =α0 Am +α1Am−1 + +αm E ; порядок				матрицы
f (A)	совпадает с порядком матрицы А.				Если f (A) есть нулевая		матрица:

f (A) = 0,	то многочлен f (t) называется аннулирующим многочленом матрицы
А, а сама матрица А называется корнем многочлена f (t) .
Пример 1.3. Если А			1	2		f (t) = t2 − 2t +3				, то
Пример 1.3. Если А			=	1	,	f (t) = t2 − 2t +3				, то
			−1	1
1	2 1	2	1	2	+3	1	0	0	0
f (A) =		− 2			+3			=	.
−1 1 −1 1			−1 1			0	1	0	0

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Определить размерность следующих матриц:

−1		2	,	1	2	3	4	,	5	6	,	[2],	1	,	[−1 −2 −3].
	3		,		6	7	8	,	7	8	,	[2],	2	,	[−1 −2 −3].
	3	5		5	6	7	8

									9	10			3

1.2. Какие из следующих матриц являются диагональными, верхними треугольными, нижними треугольными:

	0	−2			1	0	0		1		−1			1	0	0	1	0
A =	0	−2	,	B =	0 2		0		1		−1		D = −3		0 0		1	0	,
A =			,	B =	0 2		0	, C =				,	D = −3		0 0		, E =		,
	3	−4							0		1						0	1
						0								4	2
					0	0	4							4	2	5
	0	−1		?
F =		0		?
	−2	0
								1	−4			10
	1.3. Дана матрица								5			−7	. Чему равны элементы					b22 , b31, b13 ?
	1.3. Дана матрица						B = 2		5			−7	. Чему равны элементы					b22 , b31, b13 ?

									2
								0	2			−3
Какие элементы образуют главную диагональ, какие – побочную?
	1.4. Найти A − 2B +3C, если:
	5	3			1 2		3 2		0			1
A =			,	B =		4	1					3
A =	1	−2	,	B =		4	1	, C = −2				3	.
										2
	4	5			−1 2		5 2			2		−1

1.5. Найти матрицу Х из уравнения:

	−1		2		5		2			1		−3 −2			1 0		0
а)				+ 2X =				;	б)		3	1		+3X =		1
	−2		3		−2		5						−2		0		0 .
		4				2					−3	2	1			0
			4				2								0		1

1.6. Найти АВ и установить, существует ли ВА, если

	2	3	4	5		300	200
	2	3	4	5
A =	9	2	−3	4	,	B = 400	−100 .
							−300
							−300
−1		−5	3	11
							500
						200	500

1.7. Найти АВ и ВА, если:

а) A =	1		0	,	B =	0	1				1 1		,		1		1	;
а) A =				,	B =		;			б) A =			,	B =				;
	0		0			0	0				1 1				−1	−1
	2		3			2	−3				2 3			0		1	0
в) A =	2		3	,	B =	2	−3				2 3			0	B =	1	4		;
в) A =				,	B =		2	;		г) A =				,	B =	1	4		;
	1		2			−1	2				1 0			4

																0	2
	1
д) A =		,	B =[−1 −4 0].
д) A =	2	,	B =[−1 −4 0].

	3
Сделать вывод о выполнении равенства АВ = ВА.
								2	3	0						1
1.8. Даны матрицы								2	3	0	, Y =	[−4		−1],	X =	2 .		Найти те по-
1.8. Даны матрицы								A =	0		, Y =	[−4		−1],	X =	2 .		Найти те по-
								1	0	4

																0

парные произведения данных матриц, которые существуют.

1.9. На примере матриц А и В убедиться, что AB = 0, хотя A ≠ 0, B ≠ 0,

если:

а) A =	2	−3	,	9		−6
а) A =			,	B =			;
	4	−6		6		−4
	5 2		−2	3			2 2 2	2
			−3					11
б) A =	6 4		−3	5	,	B =	−1 −5 3	11
б) A =			−3		,	B =		−8	.
	9 2		−3	4			16 24 8	−8
	7 6		−4	7			8 16 0	−16

1.10. Дано:

	1 3		0			1 0		2		6	5	7
A =		4		,	B =		1		X =		2
A =	0	4	−1	,	B =	0	1	1 ,	X =	2	2	4 .
		3					0				3
	2	3	0			2	0	2		3	3	6
Показать, что АХ = ВХ, хотя A ≠ B.
	1.11.							6	−4
	1.11.		Найти A2 , если A =							.
								9	−6

1.12. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:

		′	′	′			′		′ ′					′	′
а) (A + B)			= A + B ;			б) (AB)		= B A ;					с) (cA)		= cA .
1.13. Найти A B BA, если:
				′ ′
	1
	1		, B =	1 0	3 2		;			1		,	3	6
а) A =			, B =				;		б) A =			,	B =	.
	0			1 −1	−1 1					−1			2	1
	−1
1.14. Дано:
								−1

A = 3	6		, B = 1 0		3 2		, X =		1 ,	Y = −1 .
2	1			0 −1	−1 1				−1	1
Найти AB,			BX , B BX , AY,			A AY.			0
				′		′
1.15. Даны матрицы:
				1	1	1		1 −1		0			2	2
A = 1 0			1 ,					1 −1		0			2	2
A = 1 0			1 ,	B = 2	2 3 , C = −1 0					1	,		D = −1	−1 .
				3	3 3
−1 7			5	3	3 3			0 1						1
					0			0 1		−1			1	1
				0	0	0

Определить размерность следующих матриц: AC, AD, DA, BC, CB, DAC, BCDA. Найти:

1)элемент, стоящий во второй строке и втором столбце матрицы АС;

2)элемент, стоящий в четвертой строке и первом столбце матрицы ВС;

3)элемент, стоящий в последней строке и последнем столбце матрицы DA;

4)элемент, стоящий в первой строке и первом столбце матрицы ВС.

1.16. Пользуясь свойствами умножения матриц, вычислить наиболее ра-

ционально АВ, если A =				340			510			,	B		24	−36
ционально АВ, если A =										,	B	=	−12	24	.
				170			340						−12	24
1.17. Даны матрицы						A		3		4			8	1	2		−7	. Найти мат-
1.17. Даны матрицы						A	=			1	,	B =			, C =	−8	1	. Найти мат-
								5		1			2	3		−8	1
рицу D = λ1A + λ2B + λ3C, если λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 =1.
1.18. Найти			f (A),	если:
а) f (x) = x2 −5x +3, A =					2		−1		;
а) f (x) = x2 −5x +3, A =									;
					−3		3
					2	1		1
б) f (x) = x	2	− x +1,	A =			1				;
б) f (x) = x		− x +1,	A =	3		1		2		;
						−1
				1		−1		0
в) f (x) = x2 − 2x +3, A				=	1	−1
в) f (x) = x2 − 2x +3, A				=			3	;
					2		3

г) f (x) = x3 − 2x2 + x					3		−1		;
г) f (x) = x3 − 2x2 + x			+ 4, A =				2		;
					0		2
				1	0		2
д) f (x) = 3x	2	− 4x +1,	A =
д) f (x) = 3x		− 4x +1,	A =	0 0			−1 ;
					1		0
				0	1		0
					−1			0	0	0

е) f (x) = x4 − 2x2 +3x −5, A =						0		2 0		0 .
						0		0	1
						0		0	1	0
						0		0	0	0

1.19. Найти	2 f (A) −3g(A),			если			−1
1.19. Найти	2 f (A) −3g(A),			если		A =		0
								0
g(x) = x2 − 2x +1.
1.20. Найти	f (B) − 2g(B), если A =					0	1	,
1.20. Найти	f (B) − 2g(B), если A =							,
g(x) = 3x +5.						1	2
g(x) = 3x +5.
				0		1	−1
1.21. Найти ( f (A))		2	, если A =		−1				,
1.21. Найти ( f (A))			, если A =	2	−1		3		,
					−1
				0	−1		−1

2 , f (x) = x3 − x2 +5x + 4, 3

f (x) = x2 − 2x +1,

f (x) = x +1.

<<< < Предыдущая 12 / 452 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб39самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc
#
21.08.2019451.45 Кб4свобода и ответственность.rtf