- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
Найти приближенные значения функций:
6.184. y = x3 +3x2 −2x + 4, при x =1,98 ;
6.185. y = cos x , при x = 63 ;
6.186. y = x (x2 +9)−12 , при x = 4,1;
6.187. y = x2 + 2x +12 , при x = 3,96 ;
6.188. y = |
|
|
|
x + 4 |
|
, при x = 5,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Вычислить приближенно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.189. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.190. 3 |
|
; |
6.191. 4 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
258 |
|
|||||||||||||||||||||
6.192. |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
6.193. sin 88 ; |
|
|
6.194. tg49 ; |
|
|||||||||||||||||||
621 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6.195. cos 2 ; |
|
|
|
|
|
|
6.196. ln(0,98) ; |
|
|
6.197. arcsin(0,55) ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.198. arctg(1,1); |
|
|
6.199.(2,95)4 ; |
6.200. |
|
|
(2,04)2 −3 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(2,04)2 +5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.6. Контрольные задания к главе 6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти производные функций |
(2x)cos(5x3 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) y = 3x4 − |
2 |
|
|
+ 1 +3 |
|
|
; |
б) y = sin3 |
в) |
|
|
y = (2x +1)4x . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найти |
производную |
|
функции, заданной неявно, |
в указанной |
точке: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y2 = 5x + y, |
|
M (4;−4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Получить уравнение касательной к графику функции |
|
y = x2 −4x + 2 в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π . |
|||
4. |
Найти производную третьего порядка функции y = sin |
2 x в точке x0 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5. |
Найти дифференциал функции y = |
|
9 + x2 |
в точке x0 = 4 при ∆x = 0,2. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Найти производные функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y = 3x4 + 4 |
|
|
− 2 + |
4 |
|
|
б) y = tg4xarcsin(5x); |
|
y = xcos x . |
|
|||||||||||||||||||||
|
а) |
x |
3 |
|
; |
в) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
229
2. |
Найти |
|
производную |
функции, |
заданной |
неявно, |
в |
указанной |
точке: |
||||||||||||||||||||||
|
y2 x2 + x = 6y, |
M (2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
Получить уравнение касательной к графику функции |
y = |
|
|
|
|
|
в точке |
|||||||||||||||||||||||
|
x −4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 =8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную третьего порядка функции y = ln(2 + x2 ) в точке x0 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти дифференциал функции |
y = |
|
x |
|
в точке x0 =1 при |
∆x = 0,1. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти производные функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
+ 2 5 |
|
|
|
|
|
y = tg3 |
|
y = (x2 +1)ln x . |
|
|||||||||||||||
|
а) y = 5x − |
|
|
x3 |
+6; |
|
б) |
(2x)arccos(3x); в) |
|
||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти |
|
производную |
функции, |
заданной |
неявно, |
в |
указанной |
точке: |
||||||||||||||||||||||
|
y + 4x = 4e y , |
|
|
M (1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Получить уравнение касательной к графику функции |
y = x2 −6x + 2 в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную третьего порядка функции y = (5x −4)6 |
в точке |
|
x0 =1. |
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти дифференциал функции |
y = 2e3x + 4x −4 в точке x0 = 0 при |
∆x = 0,1. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти производные функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) y = 6 |
|
|
− |
4 |
+ |
2 |
|
−5x3 +10; |
б) y = 8cos(3x)arctg(x5 ); |
в) |
y = (2x +1)sin x . |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти |
|
производную |
функции, |
заданной |
неявно, |
в |
указанной |
точке: |
||||||||||||||||||||||
|
3y =1+ xy3 , |
|
M (2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
Получить уравнение касательной к графику функции |
y = |
2x −2 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x0 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти производную третьего порядка функции y = x + arctgx в точке |
x0 =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти дифференциал функции |
y = x ln x в точке x0 =1 при |
∆x = −0,2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти производные функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5 |
|
− 6 |
|
+7x2 −2 4 |
|
|
|
б) y =10sin(7x)arctg(x2 ); |
в) y = x |
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
а) y = |
|
|
x3 |
+3; |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти |
|
производную |
функции, |
заданной |
неявно, |
в |
указанной |
точке: |
||||||||||||||||||||||
|
xy2 = y3 + 4x −7, |
M (2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
230
3. |
Получить уравнение касательной к графику функции |
|
y = x3 + 2x2 −4x +3 в |
|||||||||
|
точке |
x0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Найти производную третьего порядка функции y = x2 ln x |
в точке |
x0 =1. |
||||||||||
5. |
Найти дифференциал функции |
y = 3ex + 2x −1 в точке x0 = 0 при |
∆x = −0,1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
1. |
Найти производные функций |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
y = (arctgx)sin x . |
|||
|
а) y = |
|
x2 −3x +5 |
+ |
|
|
; б) |
y = cos(3x) ln(2x +3); в) |
||||
|
|
(x −1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти |
|
производную |
функции, заданной неявно, |
в |
указанной точке: |
||||||
|
x2 + y3 = 5, M (2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
На графике функции y = x3 −4x2 +6x + 2 найти точки, в которых касательная |
|||||||||||
|
параллельна прямой |
y = x +9. |
|
|
|
|
4.Найти производную п-го порядка функции y = e5x .
5.Найти приближенно с помощью дифференциала значение 363,5 .
Вариант 7
1. Найти производные функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
б) y = e−2x |
|
в) y = (cos x)x2 . |
|
а) y = 3 (x −3) |
2 |
− |
|
; |
sin(3x); |
||||||||
|
|
x2 + 2 |
||||||||||||
2. |
Найти производную |
функции, |
заданной |
неявно, в указанной точке: |
||||||||||
|
|
|
+ |
|
= 5, |
M (9;4). |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|||||||
3. |
На графике функции |
y = 2x2 −3x +1 |
найти точки, в которых касательная па- |
|||||||||||
|
раллельна прямой |
y = 5x −3. |
|
|
4.Найти производную п-го порядка функции y = sin(3x).
5.Найти приближенно с помощью дифференциала значение tg(480 ).
Вариант 8
1. Найти производные функций
|
а) y = 3 |
|
|
2 |
|
|
б) y = (x2 +3) ln(3x + 2); |
|
y = (x + 2)ln x . |
||
|
x2 + 2x + 4 |
+ |
|
|
; |
в) |
|||||
|
(x +3)3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти |
производную |
функции, заданной неявно, |
в |
указанной точке: |
||||||
|
y + x2 y2 = 6, |
M (1;2). |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
На графике функции y = 2tgx |
найти точки, в которых касательная параллель- |
|||||||||
|
на прямой |
y = x +3. |
|
|
|
|
|
|
4.Найти производную п-го порядка функции y = ln(2x +3).
5.Найти приближенно с помощью дифференциала значение (2,1)10 .
231
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
||||
1. Найти производные функций |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) y = 4 |
|
− |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
ln(3x +5); в) y = (arcsin x)3x . |
|
|
(x + 2)3 |
; |
б) y = |
|||||||||
|
1− x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 |
|||
2. |
Найти производную |
функции, заданной неявно, в указанной точке: |
||||||||||
|
xy + 2 = 2cos y, M (2;0). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
На графике функции |
y = |
3x +1 |
|
|
найти точки, в которых касательная парал- |
||||||
3x − 2 |
|
|
||||||||||
|
лельна прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = 2 −9x. |
|
|
|
|
|
4.Найти производную п-го порядка функции y = cos(2x) .
5.Найти приближенно с помощью дифференциала значение 4620 .
Вариант 10
1. Найти производные функций
|
y = 4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
y = (x2 −3x +11)e−2x; |
|
y = (3x −1)tgx . |
||||
а) |
x2 +6x +10 |
+ |
|
|
; б) |
в) |
|||||||||
(x −4)5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Найти производную |
|
функции, |
заданной неявно, |
в |
указанной точке: |
||||||||||
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
= x +ln |
|
, |
M |
(1;1). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. На графике функции y = 3x2 −5x −11 найти точки, в которых касательная па-
раллельна прямой y − x +10 = 0 . |
3 |
|
|
4. Найти производную п-го порядка функции y = |
. |
||
(2x +1) |
|||
|
|
5. Найти приближенно с помощью дифференциала значение (1,9)8 .
232