- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
|
|
|
|
|
|
|
[0;6]; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
7.110. |
y = x |
2 |
−6x +16 , |
|
|
7.111. |
y = ln 2x − x |
+ x, |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
;2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.112. |
y = sin 2x − x, |
|
π |
; |
π |
|
|
|
7.113. |
y = 2x −tgx, |
|
π |
|
|
|
|
||||||
− |
2 |
|
2 |
; |
|
|
0; |
3 |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.114. y = 2sin x − cos 2x |
, |
|
|
π |
; |
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
− |
4 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать справедливость неравенств в указанных интервалах.
7.115. ex ≥ x +1, |
x R; |
7.116. ln(1+ x) < x, |
x > 0; |
|
||||||||
7.117. cos x ≥1− |
x2 |
, |
x R; |
7.118. |
sin x < x − |
x3 |
+ |
|
x5 |
, |
x > 0. |
|
2 |
6 |
120 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.119. Число 12 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
7.120. Число 16 представить в виде произведения двух множителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
7.121. Найти отношение радиуса R к высоте Н цилиндра объема V = 4π , при котором его полная поверхность будет наименьшей.
7.122. На параболе y = x2 найти точку наименее удаленную от прямой y = 2x − 4.
7.123. Из круга радиуса R вырезают сектор, содержащий угол α , а затем сектор свертывают в конус с образующей, равной R. При каком значении угла α объем конуса будет наибольшим?
7.124. Консервная банка данного объема V = 250π ñì 3 должна иметь
форму цилиндра. Каковы должны быть ее размеры (высота Н и диаметр D) чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество жести?
7.125. Какими должны быть размеры открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32 м3, чтобы на облицовку плиткой стен и дна бассейна ушло наименьшее количество материала?
7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым на
интервале (а, b), если д уга кривой на этом интервале расположена ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке x (a,b) . Если на ин-
тервале (а, b) любая касательная располагается ниже дуги кривой графика функции, то он называется вогнутым на данном интервале.
Точка (x0 , f (x0 )), в которой выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
241
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика |
функции. |
|||
Если функция |
y = f (x) дважды дифференцируема на интервале |
(а, |
b) и для |
|
всех x (a,b) |
f (x) < 0 |
(f (x) > 0), то функция выпукла (вогнута) на интервале |
||
|
′′ |
′′ |
|
|
(а, b). |
|
|
|
|
Достаточное условие точки перегиба. Если в точке x0 |
вторая произ- |
водная f ′′(x0 ) = 0 или не существует и при этом при переходе через точку x0
меняет знак, то точка x0 является точкой перегиба функции |
y = f (x) . |
|
|
||
|
Пример 7.10. Найти интервалы выпуклости, вогнутости функции |
|
|
||
y = ln(1+ x2 ) и точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Найдем вторую производную функции |
|
: y′ = |
2x |
, |
|
|
1+ x2 |
|||
y′′ = |
2(1− x2 ) |
х |
|
|
|
(1+ x2 )2 . Вторая производная существует при всех |
и равна нулю при |
x = ±1. Нанесем на числовую ось точки x = ±1 и определим на полученных интервалах знаки второй производной.
– |
+ |
– |
|
|
|
–1 |
1 |
и (1;+ ∞)х и вогнута на промежутке |
Функция выпукла на промежутках |
(−∞; −1) |
(–1; 1). В точках x = ±1 вторая производная функции равна нулю и меняет знак, следовательно, эти точки являются точками перегиба.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интервалы выпуклости, вогнутости точки перегиба кривых.
7.126. y = x3 −3x2 + 4x −1; |
7.127. y = x4 − 6x2 + x; |
|||||||||||
7.128. y = 3x5 −5x4 + 2x + 3; |
7.129. y = x + 36x2 − 2x3 − x4 ; |
|||||||||||
7.130. y = |
2x2 |
+ 4 |
; |
7.131. y = |
|
x2 |
+ 2x + |
4 |
; |
|||
x2 |
− 4 |
|
|
x + 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.132. y = x−4 −8x−2 ; |
7.133. y = |
|
x4 − x +1 |
|
; |
|
||||||
|
x3 −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.134. y = x e−x2 ; |
|
7.135. y = (x +1)e−x ; |
|
|||||||||
7.136. y = x2 + 2ln x; |
7.137. y = |
ln x |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
242
7.138. |
y = ln(x2 −1); |
7.139. |
y = x2 ln x; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.140. |
y = 4 − 3 |
|
|
|
|
7.141. |
y = 2 + 5 |
(x − 4)3 |
; |
|
|||
x −1; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.142. |
y = x +8 4 |
x3 |
; |
7.143. |
y = 3 |
|
−3 |
|
|
||||
x +1 |
x −1. |
7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
Прямая y = kx +b называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x) , если расстояние от точки M (x, f (x)) до данной прямой стремится к
нулю при удалении точки М в бесконечность. |
f (x) |
|
|
|
Если существуют конечные пределы k = lim |
, |
b = lim ( f (x) − kx) , |
||
x |
||||
x→+∞ |
|
x→+∞ |
то прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции при x → +∞. Если существуют аналогичные пределы x → −∞, то прямая y = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции при x → −∞. Следует отметить, что асимптоты при x → +∞ и при x → −∞ могут быть различными.
Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0
равен бесконечности.
Для исследования функции и построения ее графика может использоваться следующая схема:
1)найти область определения функции;
2)определить четность (нечетность) функции, ее периодичность;
3)найти точки разрыва функции, ее вертикальные асимптоты;
4)найти точки пересечения с осями координат;
5)найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы;
6)найти интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба;
7)найти наклонные асимптоты графика функции;
8)построить график функции.
Пример 7.11. Найти асимптоты графика функции |
y = |
2x2 |
|
− x +1 |
. |
|||||||||
|
|
x −1 |
||||||||||||
|
2x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ре ш е н и е. Так как lim |
= +∞ |
, а lim |
2x2 − x +1 |
= −∞, полу- |
||||||||||
x −1 |
|
x −1 |
|
|||||||||||
x→1+0 |
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|||||||
чаем, что прямая х = 1 является вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем наклонные асимптоты. lim |
f (x) |
= |
lim |
2x2 |
− x +1 |
|
= 2 = k . |
|||||||
|
x |
x |
2 − x |
|
|
|||||||||
|
x→±∞ |
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
243
lim |
(f (x) − kx)= lim |
x +1 |
|
=1. Так как пределы равны при |
x → +∞ и при |
|
|||||
x→±∞ |
x→±∞ x −1 |
|
|
x → −∞, то в обоих случаях наклонной асимптотой является у = 2х + 1.
Пример 7.12. Исследовать функцию y = x2x+1 и построить ее график . Ре ш е н и е.
1)Область определения x (−∞; 0) (0; + ∞).
2)Так как f (−x) = x2 +1 = − f (x) , функция является нечетной.
−x
3) |
Так как lim |
x2 |
+1 |
= +∞, lim |
x2 |
+1 |
= −∞, точка х = 0 является точкой раз- |
|||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
x→+0 |
|
|
|
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
рыва второго рода, а прямая х = 0 – |
|
вертикальной асимптотой. В остальных |
|||||||||||||
|
точках функция непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
f (x) ≠ 0 ни при каких х. Точки пересечения с осью 0х отсутствуют, так как |
|||||||||||||||
|
при х = 0 функция не определена. |
|
|
x2 −1 |
|
|||||||||||
5) |
Найдем производную функции: |
y |
′ |
|
. Производная равна нулю при |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
= x2 |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
x = ±1 и не определена при х = 0. Нанесем эти точки на ось 0х и определим |
|||||||||||||||
|
знаки производной на полученных интервалах. Получим, что функция воз- |
|||||||||||||||
|
растает на интервалах |
(−∞;−1) и (1;+ ∞), убывает на интервалах (–1; 0), (0; |
||||||||||||||
|
1), точка х = –1 |
|
является точкой максимума функции, f (−1) = −2 , точка х = |
|
1 является точкой максимума, |
f (1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
– |
– |
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
–1 |
0 |
|
1 |
|
х |
|
|||
6) |
Найдем вторую производную: y′′ = 2x−3 . Вторая производная не определена |
|||||||||||
|
при х = 0 и нигде не равна нулю. Так как |
y |
′′ |
при x < 0 |
′′ |
|||||||
|
(x) < 0 |
и y (x) > 0 |
||||||||||
|
при x > 0 , делаем заключение, что на интервале (−∞;0) функция выпукла, |
|||||||||||
|
на интервале |
(0;+ ∞) – |
вогнута, точка х = 0 |
является точкой перегиба. |
||||||||
7) |
Найдем наклонные асимптоты: k = lim |
|
f (x) |
= lim |
|
x2 +1 |
=1, |
|
||||
|
x |
|
x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 = 0. |
x→±∞ |
x→±∞ |
|
|
|
||||
|
b = lim ( f (x) − kx) = lim |
Следовательно, |
уравнение |
наклонной |
||||||||
|
x→±∞ |
x→±∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптоты имеет вид у = х.
8) Используя полученные сведения, строим график функции (рис. 7.2).
244
|
у |
|
|
|
2 • |
• |
|
–1 |
|
|
|
• |
|
• |
|
|
|
1 |
х |
• |
• |
–2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.2 |
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
Найти асимптоты кривых.
7.144. y = |
x + 2 |
; |
|
|
|
|
7.145. y = |
|
|
2x2 + x +1 |
; |
|
|
7.146. y = |
|
|
2x2 |
+3x |
; |
||||||||||||||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.147. y = |
|
|
|
|
; |
7.148. y = |
|
|
; |
|
|
|
|
7.149. y = |
|
|
|
x2 − x |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.150. y = x ex ; |
|
|
|
|
|
7.151. y = |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Построить графики функций. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.152. y = x3 −3x2 +1; |
7.153. y = |
|
|
|
|
; |
|
7.154. y = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1+ x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.155. y = x + 1 |
; |
|
|
|
|
7.156. y = 4x2 + |
|
1 ; |
|
|
|
|
7.157. y = x3 + 6x2 + 9x; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x3 −3x |
|
|
|
|||||
7.158. y = |
3 − x2 |
; |
|
|
|
7.159. y = x5 −5x3 ; |
|
|
|
|
7.160. y = |
; |
|
||||||||||||||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.161. y = |
3x3 |
|
; |
|
|
|
7.162. y = |
|
|
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
7.163. y = |
|
|
x |
+ |
3 |
; |
|
|
|
|
|||||
x2 −3 |
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7.164. y = 3 |
x2 − 2x |
; |
7.165. y = 3 |
|
− 3 |
|
|
7.166. y = 3 |
1− x3 |
; |
|
||||||||||||||||||||||
x +1 |
x −1; |
|
245
7.167. y = |
|
|
x |
|
7.168. y = |
|
x |
2 |
|
|
|
|
7.169. y = x |
|
|
|
|
|||
|
|
; |
|
|
; |
|
1− x ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
+1 |
x2 |
+1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||
7.170. y = x e−x ; |
|
7.171. y = e2x−x2 ; |
7.172. y = e− |
|||||||||||||||||
|
2 |
; |
|
|||||||||||||||||
7.173. y = xe−x2 ; |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
7.174. y = x e x ; |
7.175. y = (x − 2)e−x ; |
||||||||||||||||||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
7.178. y = x2 ln x; |
|||||||||||
7.176. y = |
|
; |
|
|
7.177. y = ln(x + |
x2 +1); |
||||||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.179. y = x ln x; |
|
7.180. y = x −3ln x; |
7.181. y = ln(x2 +1); |
|||||||||||||||||
7.182. y = x − arctgx; |
7.183. y = sin4 x + cos4 x; |
7.184. y = x arctgx; |
7.6.Применение производной в задачах
сэкономическим содержанием
Введем обозначения: х – количество произведенной и проданной продукции, R(х) – выручка от реализации этой продукции, С(х) - соответствующие этому выпуску издержки, Р(х) = R(х) – С(х) – полученная при этом прибыль, р(х) – цена единицы продукции. Функцию спроса будем записывать в виде
р = f(х) или x =ϕ( p) .
Предельные издержки обозначаются МС(х) и равны дополнительным издержкам, необходимым для производства одной дополнительной единицы продукции, т.е.
MC(x) = ∆C(x) = C(x +1) −C(x) ≈ dC = C′(x).
В связи с этим будем считать, что MC(x) = C′(x) , т.е. предельные из-
держки равны производной от функции издержек.
Аналогичным образом определяются предельные прибыль P′(x) и выручка R′(x), которые определяют, соответственно, прибыль и выручку от про-
изводства и продажи одной дополнительной единицы продукции.
Если прибыль при некотором значении x0 максимальна, то
P′(x0 ) = R′(x0 ) −C′(x0 ) = 0, откуда следует, что R′(x0 ) = C′(x0 ) . Таким образом максимум прибыли достигается при количестве x0 произведенной продукции,
для которого предельная выручка равна предельным издержкам. Эластичностью функции y = f (x) называется предел отношения относи-
тельного приращения функции |
∆y |
к относительному приращению аргумента |
||
|
|
|
y |
|
∆x |
при |
∆x → 0, т.е. |
|
|
x |
|
|
|
|
246
Ey (x) = lim |
∆y |
: |
∆x |
= lim |
x |
|
∆y |
= |
x |
dy . |
|
y |
x |
y |
∆x |
y |
|||||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
|
dx |
Эластичность функции в точке х показывает, на сколько процентов изменится значение функции при изменении аргумента на 1%. Функция эластична в
точке х, если Ey (x) >1 и неэластична, если Ey (x) <1.
Пример 7.13. Функция спроса на некоторый продукт задана уравнением p = 400 − x , 0 ≤ x ≤ 400. На сколько изменится выручка, если объем продаж
увеличится с 256 до 257 единиц? Сравнить эту величину с предельной выручкой.
Р е ш е н и е. Выручка |
|
R(x) = xp = x |
400 − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆R = R(257) − R(256) = 257 |
|
|
− 256 |
|
|
|
≈1,27. |
Предельная |
вы- |
||||||||||||
400 − 252 |
|
400 − 256 |
|||||||||||||||||||
ручка равна dR = |
|
− |
|
|
x |
|
|
|
. При х = 256 получим |
|
|
|
|||||||||
400 − x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx |
|
|
|
2 |
400 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dR(256) ≈1,33 . Сравнивая ∆R |
и |
dR , получим |
|
∆R − dR |
|
= 0,06. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Пример 7.14. |
Предприятие быстрого питания выпекает пирожки. |
Вы- |
|||||||||||||||||||
ручка от продажи |
х |
пирожков за неделю равна |
|
R(x) = |
1 |
|
(60000x − x2 ) , а |
||||||||||||||
|
20000 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
издержки составляют |
C(x) = 5000 + 0,56x, 0 ≤ x ≤ 56000 . Сколько пирожков в |
неделю необходимо выпекать, чтобы прибыль была максимальной? Вычислить прибыль при х = 20000, х = 30000, х = 40000 и сравнить с максимальной.
Р е ш е н и е. |
P = R −C; |
dP |
= dR |
− dC |
= 3 − |
|
x |
|
−0,56 = |
|
|
|
|
|||
dx |
10000 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
= 2,44 − |
|
x |
= 0, |
откуда х = 24400. Так как |
|
d 2 p |
(24400) = − |
|
1 |
< 0 |
, за- |
|||||
10000 |
|
dx2 |
10000 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ключаем, что точка х = 24400 является точкой максимума прибыли Р. Прибыль при этом составит 24768. При х = 20000 прибыль равна 23800, при х = 30000 прибыль равна 23200, а при х = 40000 прибыль равна 12600.
Пример 7.15. Издержки компании в евро при производстве х единиц продукции заданы функцией C(x) = 800 + 0,4x + 0,0002x2 . При каком объеме производства х средние издержки будут наименьшими.
Р е ш е н и е. Средние издержки C(x) находятся, как полные издержки C(x) , отнесенные к объему х произведенной продукции, т.е.
|
(x) = |
|
C(x) |
= |
800 |
+ 0,4 + 0,0002x . |
Исследуем эту функцию на экстремум. |
|||
C |
||||||||||
|
x |
|
x |
|||||||
dc |
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
800 |
+ 0,0002 = 0, x2 = 4 106 |
, x = 2000. |
|||||||
dx |
|
x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
247
Так как |
d 2c |
(2000) = |
1600 |
> 0, заключаем, что при х = 2000 средние |
||||
dx2 |
(2000)3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
издержки будут наименьшими и составят 1,2 евро на единицу продукции. |
||||||||
Пример |
7.16. |
Функция |
спроса задана уравнением p = 30 − 2 |
|
, |
|||
x |
0 ≤ x ≤196 .
а) Найти интервалы, на которых спрос эластичен, неэластичен и точку, в которой он имеет единичную эластичность.
б) Найти промежутки, на которых выручка R возрастает и убывает сопоставить результаты с результатами пункта а).
Р е ш е н и е. Ценовая эластичность спроса
Ex ( p) = lim |
|
∆x x |
= |
|
p |
dx |
= |
|
p x |
; |
|
|
|
|
(будем |
рассматривать |
|
эластичность, как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∆p→0 ∆p |
x |
dp |
|
|
|
|
dp |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
функцию от х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
30 − 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) Ex ( p) = |
x |
|
|
|
|
x |
. |
Спрос имеет единичную эластич- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ность, если |
|
Ex ( p) |
|
=1; |
|
|
2 |
|
x |
|
=1, так как 0 ≤ x ≤196 , получим |
|
=10, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x =100 . |
|
|
При |
|
|
|
|
x <100, |
|
Ex ( p) |
|
>1, |
т.е. спрос |
|
|
эластичен; |
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x >100, |
|
Ex ( p) |
|
<1, т.е. спрос неэластичен. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Выручка |
|
R(x) = xp = 30x − 2x x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =10, x =100. При |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
(x) = 30 −3 x = 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x <100, |
|
|
′ |
|
|
> 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
выручка |
возрастает. |
|
При |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x >100, |
|
|
′ |
|
< 0 |
|
она убывает. Точка |
x =100 является точкой максимума |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R (x) |
|
|
выручки. Таким образом, в области, в которой спрос эластичен увеличение объема производства ведет к увеличению выручки, а в области, где он неэластичен, наоборот, к ее снижению.
Пример 7.17. Найти эластичность функции y = |
20 + x |
в точке x =10. |
|
10 + 2x |
|||
|
|
На сколько процентов изменится значение функции в этой точке, если аргумент увеличить: а) на 1%; б) на 4% ?
Р е ш е н и е. Найдем эластичность функции
Ey (x) = |
x |
dy |
= |
x(10 + 2x) |
|
−30 |
= |
−30x |
; Ey (10) = − |
1. |
|
y |
(20 + x) |
(10 + 2x)2 |
(20 + x)(10 + 2x) |
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
3 |
Следовательно, если значение аргумента увеличится на 1%, то значение функции уменьшится на 13 %; если значение аргумента увеличится на 4%, то значе-
ние функции уменьшится на − 34 %.
248
Задачи для самостоятельного решения
Найти объем продукции х, при котором выручка R будет наибольшей.
7.185. R = 800x − 0,2x2 ; |
7.186. |
R = 48x2 − 0,02x3 ; |
||
7.187. R = 400x − x2 ; |
7.188. |
2 |
|
|
R = 30x 3 − 2x. |
||||
Найти объем продукции х, |
при котором средние издержки |
|
на едини- |
|
C |
||||
цу продукции наименьшие. |
|
|
|
|
7.189. C =1,25x2 + 25x +500; |
7.190. C = 0,001x3 + 5x + 250; |
|||
7.191. C = 2x2 + 255x +80000; |
7.192. C = 0,002x3 + 55x + 4000; |
7.193. Функция спроса для некоторого товара имеет вид p =1000 −0,5x2 , где х – количество единиц произведенного и проданного то-
вара, р – цена одной единицы при данном уровне производства х. Общие и з- держки заданы функцией C(x) = 400x +1000 . При к аком объеме выпуска про-
дукции прибыль будет максимальной? Какова при этом цена одного изделия и
средние издержки? |
|
|
||
7.194. |
Компания производит игрушки. Выручка и издержки заданы |
|||
соответственно функциями R(x) = 500x − |
x2 |
, C(x) = 75000 + 2x , где х – число |
||
20 |
||||
|
|
|
игрушек, произведенных за неделю. При каком объеме выпуска продукции прибыль будет наибольшей?
7.195. |
Функция спроса для некоторого товара имеет вид p = |
50 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
x |
||||
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 8000 , где р – цена единицы товара, х – количество товара, а издержки равны C(x) = 0,5x +500 . Найти: а) максимальную прибыль; б) предельную
прибыль в точках х = 900, х = 1600, х = 2500, х = 3600.
7.196. Выручка от сдачи в аренду х единиц площади определяется функцией R(x) = 2x(900 +32x − x2 ) . Найти: а) дополнительный доход при
увеличении арендуемой площади с 14 до 15 единиц; б) предельный доход при х = 14. Сравнить результаты пунктов а) и б).
Найти ценовую эластичность спроса в указанной точке и установить, будет ли спрос в этой точке эластичным, неэластичным или же он равен единице.
7.197. |
p = 400 −5x, x = 20; |
7.198. |
p = 20 −0,0002x, |
x = 30; |
||||||||
7.199. |
p = |
500 |
|
, |
x = 20; |
7.200. |
p = |
100 |
+ 2, |
x =10; |
||
x +3 |
x2 |
|||||||||||
7.201. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p =100 − |
|
0,2x |
, x =125. |
|
|
|
|
|
249