3.254. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х–2у+4z–5=0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки

а= –2 и b= 23 соответственно.

3.7 Уравнения прямой в пространстве

Прямая как пересечение двух плоскостей (рис. 3.19) определяется совместным заданием двух уравнений первой степени:

при условии, что коэффициенты A1, B1, C1 первого из них не пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2 второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или совпавшие плоскости).

Рис. 3.19

Каждый ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой и обозначается s =(l; т; п).

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки

135

Обозначив буквой t каждое из равных отношений в канонических урав-

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) в направлении вектора s = (l; т; п):

В уравнениях (3.55) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; х, у, z — как функции от t. При изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М(х; у; z) движется по данной прямой.

Числа l , m, n называются направляющими коэффициентами прямой.

Если прямая задана уравнениями (3.52), то ее направляющие коэффициенты находятся по формулам:

Уравнения (3.55) можно записать в виде одного векторного параметрического уравнения

где символами r0 и r обозначены радиус-векторы точек М0 и М соответственно.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве две прямые L1 и L2 заданы параметрическими (3.55) или каноническими (3.53) уравнениями:

136

I.Равенство D = 0 является необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых одной плоскости. При этом:

I.a. Если в определителе D = 0 все строки пропорциональны, то прямые совпадают.

I.б. Если в определителе D = 0 пропорциональны только первые две строки

(направляющие векторы прямых коллинеарны), то прямые параллельны. I.в. Если D = 0, но условие (3.59) не выполнено, то прямые пересекаются.

II.Если D ¹ 0, то прямые скрещиваются.

Угол j между двумя прямыми есть угол между направляющими векторами этих прямых, который находится с помощью их скалярного произведения. Таким образом:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является ортогональность направляющих векторов этих прямых:

ноническому виду и определить углы, образуемые этой прямой с координатными осями.

Ре ш е н ие . Для записи уравнения прямой в каноническом виде (3.53)необходимо знать ее направляющие коэффициенты l , m, n и точку M (x0 ; y0 ; z0 ),

через которую она проходит. Направляющие коэффициенты l , m, n найдем по формулам (3.56):

лучаем l = -19, m = 9, n =11.

137

Углы, образованные этой прямой с координатными осями, определяем из направляющих косинусов вектора s :

двух прямых искомые значения l , m, n должны быть пропорциональны направ-

б) из условия параллельности двух прямых искомые значения l , m, n должны быть пропорциональны направляющим коэффициентам 0, 0, 1, т.е.

l = 0, m = 0, n = k . Таким образом, канонические уравнения прямой имеют вид

138

x0-1 = y0+1 = z -k 2 или x0-1 = y0+1 = z -1 2 . Это уравнение можно переписать

правляющие коэффициенты l , m, n, определяемые с точностью до постоянного множителя, в силу условия (3.61) должны удовлетворять системе двух уравне-

лей. Так как точка пересечения диагоналей M является серединой отрезка AC , то ее координаты равны полусуммам соответствующих координат концов, т.е.

139

Пример 3.32. Исследовать взаимное расположение двух прямых

Ре ш е н ие . По формуле (3.58) составим определитель:

Так как две первые строки не пропорциональны, то прямые пересекаются. По формуле (3.60) найдем угол между этими прямыми:

1+ 2t = 6 + 3p, 7 + t = -1- 2 p, 3 + 4t = -2 + p. Исключая t из первых двух уравнений, получим 7 p = -21, отсюда p = -3. Из первого уравнения находим t = -2 . Третье уравнение системы при найденных значениях t и p обращается

в тождество. Подставляя значение t = -2 в уравнения первой прямой или значение p = -3 в уравнения второй прямой, получим точку пересечения прямых:

M (-3; 5; - 5) .

Окончательно имеем, что прямые пересекаются в точке M (-3; 5;- 5) под углом j » 58 .

Задачи для самостоятельного решения

3.255. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 5х–7у+2z–3=0 с координатными плоскостями.

140

3.263. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две дан-

3.264. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

3.265. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

1) (3; –1, 2) и (2; 1; 1); 2) (1; 1; –2) и (3; –1; 0); 3) (0; 0; 1) и (0; 1; –2).

141

3.266. Через точки M1(–6; 6; –5) и М2(12; –6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

3.267. Даны вершины треугольника А(3; 6; –7), В(–5; 2; 3) и С(4; –7; –2). Составить параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины С.

3.268. Даны вершины треугольника А(3; –1; –1), В(1; 2; –7) и С(–5; 14; –3). Со-

ставить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

3.269. Даны вершины треугольника А(2; –1; –3), В(5; 2; –7) и С(–7; 11; 6). Со-

ставить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

3.270. Даны вершины треугольника А(1; –2; –4), В(3; 1; –3) и С(5; 1; –7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

3.271. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

ì3x - y + 2z - 7 = 0,

М1(1; 3; –5) параллельно прямой í

îx + 3y - 2z + 3 = 0.

3.272. Составить канонические уравнения следующих прямых:

3.273. Составить параметрические уравнения следующих прямых:

3.274. Доказать параллельность прямых:

3.275.Доказать перпендикулярность прямых:

142

3.277. Найти тупой угол между прямыми: х=3t–2, у=0, z= –t+3 и х=2t–1, у=0, z=t–3.

чении a они пересекаются?

3.281. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(–1; 2; –3) перпендикулярно к вектору a =(6; –2; –3) и пересекает прямую x3-1 = y2+1 = z--53 .

3.282. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(–4; –5; 3)

3.8Взаимное расположение прямой и плоскости

впространстве

Углом j между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением n × r + D = 0, а прямая – r = r0 + st . Из геометрических соображений (рис. 3.20) видно, что искомый угол

143

j = p2 -a , где a – угол между векторами n и s . Этот угол может быть найден по формуле

n × s

sinj = cosa = (3.62) ns

или в координатной форме

Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, что равносильно условию

Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если

определяет плоскость, проходящую через данную прямую (3.52).

Уравнением вида (3.66) (при соответствующем выборе чисел α, β) можно определить любую плоскость, проходящую через данную прямую (3.52).

144

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (3.66) называется уравнением пучка плоскостей.

Если α ¹0 то, полагая ab = l , уравнение (3.66) можно привести к виду

А1х+B1y+C1z+D1+l(А2х+B2y+С2z+D2)=0. (3.67)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (3.66), однако уравнением (3.67) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует α=0, т. е. за исключением плоскости А2х+B2y+C2z+D2=0.

3(-6 + 2t) - 4(7 - t) + 5(8 - 3t) +16 = 0 , отсюда t = 2 . Из уравнения прямой при t = 2 находим координаты точки пересечения x = -2, y = 5, z = 2. Искомой точкой пересечения является точка N(-2; 5; 2).

Пример 3.34. Найти проекцию точки P(5; - 6; 7) на прямую x = 7 - 2t, y =1+ 3t, z = 4 + t .

Ре ш е н ие . Искомая проекция является точкой пересечения данной прямой и плоскости, проведенной через точку P(5; - 6; 7) перпендикулярно этой

прямой. Составим уравнение указанной плоскости, выбирая в качестве вектора

Находим точку пересечения данной прямой и полученной плоскости:

2(7 - 2t) - 3(1+ 3t) - (4 + t) - 21 = 0 или t = -1. Из уравнения прямой при t = -1 находим координаты искомой точки x = 9, y = -2, z = 3.

145

Таким образом, точка Q(9; - 2; 3) является проекцией точки P(5; - 6; 7) на указанную прямую.

Пример 3.35. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию

(2a + b )x + (-a + b )y + (a + b )z - 3a + b = 0. Так как искомая плоскость па-